Enunciado

Por que a seguinte situação é impossível? Uma criança travessa vai a um parque de diversões com sua família. Em um brinquedo, depois de levar uma bronca da mãe, ela escorrega do seu assento e sobe para o topo da estrutura do brinquedo, que tem forma de cone com eixo vertical e lados inclinados que fazem um ângulo de θ   =   20,0 ° com a horizontal, como mostrado na Figura P5.54. Esta parte da estrutura gira sobre o eixo central vertical quando o brinquedo é operado. A criança se senta na superfície inclinada em um ponto d   =   5,32   m para baixo do lado inclinado a partir do centro do cone e faz biquinho. O coeficiente de atrito estático entre ela e o cone é 0,700 . O operador não nota que a criança saiu de seu assento e então continua operando o brinquedo. Como resultado, a criança amuada sentada gira em uma trajetória circular a uma velocidade de 3,75   m / s .

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo e bora!

O diagrama de corpo livre é mostrado abaixo:

Onde é assumido que o atrito aponta para cima da inclinação, caso contrário, a criança iria deslizar para baixo na inclinação. A força líquida é direcionada para a esquerda em direção ao centro do caminho circular em que a criança percorre. O raio desse caminho é R = d c o s ⁡ θ .

Três forças agem sobre a criança, uma força normal, atrito estático e gravidade. As relações de seus componentes de força são:

∑ F x :     f s cos ⁡ θ - nsin ⁡ θ = m v 2 R

∑ F y :       f s sin ⁡ θ + ncos ⁡ θ - m g = 0 → f s sin ⁡ θ + ncos ⁡ θ = m g

Passo 2

Resolva o atrito estático e a força normal.

Para resolver o atrito estático, multiplique a equação [1] por   c o s ⁡ θ e a equação [2] por s i n ⁡ θ e adicione:

c o s ⁡ θ f s cos ⁡ θ - nsin ⁡ θ + s i n ⁡ θ f s sin ⁡ θ + ncos ⁡ θ = c o s ⁡ θ m v 2 R + s i n ⁡ θ ( m g ) f s = ( m g ) s i n ⁡ θ + m v 2 R c o s ⁡ θ

Para resolver a força normal, multiplique a equação [1] por - s i n ⁡ θ e a equação [2] por   c o s ⁡ θ e adicione:

( - s i n ⁡ θ ) f s cos ⁡ θ - nsin ⁡ θ + c o s ⁡ θ f s sin ⁡ θ + ncos ⁡ θ = ( - s i n ⁡ θ ) m v 2 R + c o s ⁡ θ ( m g ) n = ( m g ) c o s ⁡ θ - m v 2 R s i n ⁡ θ

Acima, nós usamos c o s 2 ⁡ θ + s i n 2 ⁡ θ = 1 .

Se as equações acima devem ser consistentes, o atrito estático e a força normal devem satisfazer a condição f s ≤ μ s n , isso significa:

m g sin ⁡ θ + m v 2 R cos ⁡ θ ≤ μ s m g cos ⁡ θ - m v 2 R sin ⁡ θ → v 2 cos ⁡ θ + μ s sin ⁡ θ ≤ g R μ s cos ⁡ θ - sin ⁡ θ

Passo 3

Usando este resultado, e que R = d c o s ⁡ θ , temos o requisito de:

v ≤ gdcos ⁡ θ μ s cos ⁡ θ - sin ⁡ θ cos ⁡ θ + μ s sin ⁡ θ

Se esta condição não for atendida, se v for muito grande, a situação física não pode existir.

Os valores dados no problema são d = 5.32 m , μ s = 0.700 , θ = 20.0 ∘   e   v = 3.75 m s . Verifique se o valor dado de v satisfaz a condição acima:

9.80 m s 2 5.32 m cos ⁡ 20.0 ∘ - 0.700 cos ⁡ 20.0 ∘ - sin ⁡ 20.0 ∘ cos ⁡ 20.0 ∘ + 0.700 sin ⁡ 20.0 ∘ = 3.62 m / s

A situação é impossível porque a velocidade da criança dada no problema é muito grande: o atrito estático não conseguiu manter a criança no lugar na inclinação.

Resposta

Ver resolução

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma corda é amarrada em um balde de água e o balde gira em um círculo vertical de raio 0,600 m . Qual deve ser a velocidade mínima do balde no ponto mais elevado do círculopara que a água não seja exp
Um ‘balanço gigante’ de um parque de diversões consiste em um eixo vertical central com diversos braços horizontais ligados em sua extremidade superior (Figura 5.57). Cada braço suspende um assento po
Em outra versão do ‘balanço gigante’ (Exercício 5.52),o assento é conectado a dois cabos, como indicado na Figura 5.58, uma das quais é horizontal. O assento balança em um círculo horizontal, a uma ta
Uma bola de boliche de 71,2 N está presa ao teto por uma corda de 3,80 m . Abola é empurrada para um lado e libertada; ela então oscila para frente e para trás, como um pêndulo. Quando a corda passa p
Um avião faz uma volta circular em um plano vertical (um loop) com um raio de 150m . A cabeça do piloto sempre aponta para o centro do círculo. A velocidade do avião não é constante; o avião vai mais