Enunciado

Em 1993, um ioiô gigante de 400 k g , com 1.5 m de raio, foi largado de um guindaste de uma altura de 57 m . A corda, com uma de suas extremidades atada no topo do guindaste, ia desenrolando enquanto o ioiô ia descendo. Supondo o eixo do ioiô com um raio de 0.10 m , avalie sua rapidez linear no final da queda.

Passo 1

Oláaaa, querido!

Temos um ioiô grandão caindo. Ele quer saber a rapidez linear v dele no fim da queda.

Para saber a rapidez linear final dele, sabendo apenas que ele sai do repouso e que ele cai de uma altura h = 57   m , a gente precisa da aceleração linear a dele durante a queda.

Se a gente precisa achar a aceleração, é uma boa usar a segunda lei de Newton aqui. E se tem segunda lei de Newton, precisamos do diagrama de corpo livre do ioiô:

Repara que temos duas forças atuando. A força peso F g do ioiô que não causa torque porque a linha de ação dela passa pelo centro de massa do ioiô.

E temos a força de tensão na corda que envolve o ioiô. Ela está está sendo aplicada no que o enunciado chama de eixo do ioiô, que tem raio r = 0,1   m . Esse eixo é a parte do ioiô onde a corda fica enrolada.

Então bora lá aplicar a segunda lei de Newton para achar aceleração desse cara e depois sua rapidez final.

Passo 2

Podemos aplicar a segunda lei de Neton para o centro de massa da polia. Colocamos o referencial no diagrama que coloca x positivo no sentido da aceleração do ioiô. Aí ficamos assim:

∑ F x = m a x

m g - T = m a

T = m g - a   i

Não temos nem T nem a , então precisamos de mais uma equação para achar a .

Passo 3

Como o ioiô gira, a gente pode aplicar aqui a segunda lei de Newton para a rotação também:

∑ τ = I α

A única força que gera torque no ioiô é a tensão T que não tem linha de ação passando pelo CM do ioiô. E como essa força é sempre perpendicular ao raio r do eixo e está aplicada a essa distância do eixo de rotação no centro do ioiô, o torque gerado vale

τ = T r

E aí a segunda lei fica

T r = I α

A gente pode relacionar a acelração linear a do ioiô com sua aceleração angular α   usando essa expressão:

a = r α → α = a r

Substituindo a nossa equação

T r = I a r

E I é o momento de inércia do ioiô que a gente pode aproximar como um cilindro de raio R e massa m . O momento de inércia de um cilindro em torno do eixo que passa pelo seu centro é

I = m R 2 2

Substituindo na nossa equação

T r = m R 2 2 a r   i i

Passo 4

Aí a gente tem duas equações e duas incógnitas. Podemos achar a :

T = m g - a   i

T r = m R 2 2 a r   i i

Substituindo a primeira na segunda:

m g - a r = m R 2 2 a r

Arrumando

m g - m a = m 2 × R 2 r 2 a

Dividindo tudo por m e e isolando a

a R 2 2 r 2 + 1 = g

a = g 1 + R 2 2 r 2

Substituindo valores numéricos:

a = 9.81 1 + 1.5 2 2 × 0.1 2

a = 0.0864   m / s 2

Passo 5

Como conhecemos a aceleração e a altura, vamos usar a equação de Torricelli para encontrar a velocidade final!

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ x

A velocidade inicial é v 0 = 0 porque estamos no repouso e Δ x = h . Assim ficamos com:

v 2 = 2 a h

v = 2 a h

v = 2 × 0.0864 × 57

v = 3.1 m s

Resposta

v = 3.1 m s

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