Enunciado

28. A vida média própria de um múon (Veja os problemas 18 e 19 para detalhes sobre os múons) é de 2,20   μ s . Considere um múon criado na atmosfera superior da Terra, descendo para a superfície, 8,00   k m abaixo, a 0,980 c .

(a) Qual a probabilidade de que o múon sobreviva a viagem até a Terra antes de cair? A probabilidade de decaimento de um múon é de P = 1 - e - ∆ t / τ , onde ∆ t é o intervalo de tempo medido no referencial em questão.

(b) Calcule a probabilidade do ponto de vista de um observador que se move com o múon. Mostre que a resposta é a mesma do que a do ponto de vista de um observador na Terra.

Passo 1

(a) Se a probabilidade do múon decair é dada por P = 1 - e - ∆ t / τ , então a probabilidade dele não decair é:

P n ã o   d e c a i r = e - ∆ t / τ

Queremos o intervalo de tempo ∆ t que o múon levaria para cair até a superfície! Por isso vamos, agora, usar a fórmula do “Sorvete” para expressar o intervalo de tempo como a razão do espaço pela velocidade:

∆ t = v a r i a ç ã o   d o   e s p a ç o v e l o c i d a d e = L v

Temos a variação do espaço L , igual a 8,00   k m e a velocidade v do múon, igual a 0,980 c . Substituímos na equação acima para encontrar nosso intervalo de tempo:

∆ t = 8000   m 0,980 × 2,998 × 10 8   m / s

∆ t = 27,229   μ s

Agora, o que precisamos fazer é encontrar o tempo de vida útil média do múon τ , através da fórmula da dilatação do tempo:

τ = τ 0 1 - v 2 c 2

Substituindo os valores numéricos adequados, chega-se a:

τ = 2,20 × 10 - 6   s 1 - ( 0,980   c ) 2 c 2

τ = 11,055   μ s

Por fim, voltemos a fórmula da probabilidade de que o múon sobreviva a queda, para substituir o ∆ t e o τ que encontramos:

P n ã o   d e c a i r = e - 27,229   μ s 11,055   μ s

P n ã o   d e c a i r = 0,085 = 8,5   %

Passo 2

(b) Nesse item, o que temos que fazer é encontrar o tempo, como uma razão do espaço percorrido L , pela velocidade do múon v . Mas atenção, porque como estamos considerando o sistema observador-múon como nosso referencial, é como se a Terra estivesse se movendo em direção até ele. Logo, o comprimento L , diferentemente da letra (a), vai ser reduzido, sendo expresso pela fórmula da contração do comprimento, por:

L = L 0 1 - v 2 c 2

Como o intervalo de tempo ∆ t é dado por:

∆ t = v a r i a ç ã o   d o   e s p a ç o v e l o c i d a d e = L v

Então, chegamos a:

∆ t = L 0 1 - v 2 c 2 v

Só resta, finalmente, substituir os valores numéricos adequados:

∆ t = ( 8000   m ) 1 - ( 0,980   c ) 2 c 2 ( 0,980 × 2,998 × 10 8   m / s )

∆ t = 5,419   μ s

Como o sistema observador-múon agora é o centro de nosso referencial, então o tempo de vida útil médio τ é dado por 2,20   μ s . Vamos encontrar nossa probabilidade:

P n ã o   d e c a i r = e - 5,419   μ s 2,20   μ s

P n ã o   d e c a i r = 0,085 = 8,5   %

Ia lá! Não é que encontramos o mesmo resultado da letra (a). Logo, as probabilidade são semelhantes.

Resposta

a) 0,085 ou 8,5   % .

b) 0,085 ou 8,5   % .

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