Enunciado

Gotas de chuva. Quando a velocidade de um trem é de 12,0   m / s na direção leste, as gotas de chuva que caem verticalmente em relação à superfície terrestre deixam vestígios com inclinação de 30 ° em relação à vertical, nas janelas do trem.

a) Qual o componente horizontal da velocidade de uma gota em relação à superfície terrestre? Em relação ao trem?

b) Qual o módulo da velocidade da gota em relação à superfície terrestre? Em relação ao trem?

Passo 1

Olá, tudo bem?

A ideia aqui é relacionar as velocidades relativas. Então vamos organizar os dados.

Temos três velocidades:

  • A velocidade do trem relativa à Terra v → t r e m : 12 m / s na direção leste ( + x ) ;
  • A velocidade da chuva em relação à Terra v → c h u v a : verticalmente para baixo ( - y ) ;
  • E por fim a velocidade relativa da chuva nas janelas do trem v → : 30 ° em relação à vertical.

Podemos fazer um diagrama vetorial para visualizar melhor essas velocidades:

Pelo diagrama dá pra gente ver que a velocidade das gotas de chuva em relação ao trem é uma subtração vetorial das velocidades da chuva (vertical, em roxo) e da velocidade do trem (horizontal, em vermelho). Assim, vetorialmente:

v → = v → c h u v a - v → t r e m

Ou, a velocidade da chuva em relação à Terra é a soma vetorial das outras duas:

v → c h u v a = v → + v → t r e m

Beleza?

Passo 2

  1. A letra a) pede a componente horizontal da velocidade de uma gota em relação à superfície terrestre e ao trem.
  2. A velocidade das gotas em relação à Terra de chuva é vertical para baixo, e não possui componente horizontal. Então essa componente é zero.

    Já em relação ao trem, para essa conta fechar, a componente horizontal de v → deve ser igual ao oposto do vetor v → t r e m , certo?

    Então:

    v c h u v a ,   x = 0

    v x = - v t r e m , x   = - 12 m / s

    Tranquilo até aqui?

    Passo 3

  3. Agora o problema nos pede o módulo das velocidades.

Primeiro vamos calcular o módulo da velocidade das gotas em relação à Terra v c h u v a . Pelo nosso diagrama, podemos formar um triângulo retângulo, onde podemos relacionar a tangente de 30 ° com as componentes verticais (o que queremos) com a componente horizontal (velocidade do trem, que temos).

Achou difícil visualizar? Então vou simplificar girando aquele triângulo pra você ver melhor:

Sacou? Com isso, temos que,

t g 30 ° = v t r e m v c h u v a

Substituindo os valores,

v c h u v a = v t r e m t g 30 ° = 12 t g 30 °

v c h u v a = 20,8 m / s

Show?

Passo 3

Por fim queremos o módulo da velocidade da gota em relação ao trem. Usando o mesmo triângulo do desenho do passo anterior, agora queremos saber o tamanho em verde. O módulo de v → vai ser nossa hipotenusa, a velocidade do trem vai ser nosso cateto oposto e a função que une isso tudo é o seno do ângulo, que é 30 ° . Agora é só partir pra conta:

s e n 30 ° = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = v t r e m v

Isolando v do lado esquerdo:

v = v t r e m s e n 30 ° = 12 s e n 30 ° = 24 m / s

Certo? Vamos pra próxima questão? Responde Aí!

Resposta

a ) v c h u v a ,   x = 0

v x = - v t r e m , x   = - 12 m / s

b )   v c h u v a = 20,8 m / s

v = 24 m / s

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