Enunciado

35 - Um circuito em série consiste de uma fonte CA com frequência variável, um resistor de 115 Ω , um capacitor de 1,25 μ F e um indutor de 4,50   m H . Determine a impedância desse circuito, quando a frequência angular da fonte CA é ajustada para

  1. A frequência angular de ressonância.
  2. O dobro da frequência angular de ressonância.
  3. A metade da frequência angular de ressonância.

Passo 1

Primeiro vejamos que a impedância de um circuito RLC equivalente é dada por...

Z = R + j X l - j X c   →

Onde X l e X c são as reatâncias indutivas e capacitivas respectivamente que valem...

Z = R + j ω L - j 1 ω C

ω é a frequência do sistema. Vamos nessa?

Passo 2

L e t r a   A :

Para a frequência de ressonância, X l = X c , ou seja...

ω L = 1 ω C   →

Logo, a impedância fica sendo puramente Resistiva...

Z = R + j X l - j X c   →

Z = R = 115 Ω

Passo 3

L e t r a   B :

Agora precisamos calcular a impedância quando a frequência é o dobro da frequência angular de ressonância: ω = 2 ω 0 . Então primeiro calculemos ω 0 :

ω 0 = 1 L C   →

ω 0 = 1 4,50 ⋅ 10 - 3 ⋅ 1,25 ⋅ 10 - 6 =

1,33 ⋅ 10 4 r a d / s

Para uma frequência angular de 2 vezes mais...

ω = 2 ω 0 = 2,66 ⋅ 10 4 →

Z = R + j ω L - j 1 ω C   →

Substituindo-se tudo...

Z = 115 + j 2,66 ⋅ 10 4 4,5 ⋅ 10 - 3 - j 1 2,66 ⋅ 10 4 1,25 ⋅ 10 - 6     →

E fazendo-se as continhas, vamos chegar em...

Z = 115 + j 11,97 ⋅ 10 - j 1 3,325 ⋅ 10 - 2     →

Z = 115 + j 119 , 7 - j 30,07     →

Z = 115 + j 89,62  

Passo 4

L e t r a   C :

Beleza, agora falta fazer a mesma coisa, mas para a metade da frequência angular:

ω = ω 0 2 = 0,665 ⋅ 10 4

Então...

Z = R + j ω L - j 1 ω C   →

Fazendo-se novamente as continhas...

Z = 115 + j 0,665 ⋅ 10 4 4,5 ⋅ 10 - 3 - j 1 0,665 ⋅ 10 4 1,25 ⋅ 10 - 6     →

Z = 115 + j 2,9925 ⋅ 10 - j 1 0,83125 ⋅ 10 - 2     →

Z = 115 + j 29,925 - j 120,30     →

Vamos chegar nesse Z aqui:

Z = 115 - j 90,37  

Saca?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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