Enunciado

45. Uma bola de massa m , presa a extremidade de um cordão, move-se em um círculo vertical com energia mecânica contante E . Qual a diferença entre a tensão na base do círculo e a tensão no topo ?

Passo 1

A seguinte imagem abaixo, representa a bola viajando em um caminho circular com energia constante. U   foi escolhido para ser zero no ponto mais baixo do círculo e os diagramas de corpo livre sobrepostos mostram as forças que atuam na bola no topo ( T ) e na base   ( B ) do caminho circular. Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a bola na parte superior e inferior do seu caminho para obter uma relação entre T T e T b e conservação de energia mecânica para relacionar as velocidades da bola nesses dois locais, que estão sendo requisitados pelo exercício. Consideremos o sistema de análise como o formado pela Terra e pela bola. Desse modo, não há forças externas atuando no nosso sistema e o trabalho das forças externas, W e x t , é igual a zero. Mão na massa !

Passo 2

Vamos, primeiro, realizar o procedimento, como descrito no P a s s o   1 , de aplicar a segunda lei de Newton, considerando a direção radial, para as partes inferior e superior do círculo:

Para o ponto mais baixo:

∑ F r a d i a l = m a r a d i a l

Temos então que:

T b - m g = m a r a d i a l

E o que é esse a r a d i a l   ? Bem, o a r a d i a l nada mais é do que um velho conhecida da gente. Isso mesmo, o a r a d i a l   é a aceleração direcionada para o centro do círculo, que popularmente conhecemos pelo nome de aceleração centrípeta e cuja fórmula também já e familiar: a divisão do quadrado da velocidade ( v 2 ) pelo raio do círculo ( R ) .Assim a equação anterior passa a ser escrita como:

T b - m g = m v b 2 R     ( 1 )

Para o ponto mais alto:

Em seguida, para o topo, repetimos o mesmo raciocínio. Para esse caso, somam-se as forças T t e m g , uma vez que as duas apontas para o centro do círculo.

∑ F r a d i a l = m a r a d i a l

T t + m g = m a r a d i a l

T t + m g = m v t 2 R     ( 2 )

Obtidas as duas equações que queremos 1 e ( 2 ) , agora vamos subtrair a primeira equação da segunda afim de obter alguma relação possível:

T b - m g - T t + m g = m v b 2 R - m v t 2 R

T b - T t - 2 m g = m R v b 2 - v t 2

T b - T t = m R v b 2 - v t 2 + 2 m g  

Essa equação pelo que parece, não tem um formato nada agradável. Mas quem sabe podemos extrair algo dela, usando o princípio da conservação de energia. Continuemos!

Passo 3

Aplicando o princípio da conservação da energia mecânica para o sistema, que está livre da interferência de forças externas, temos:

W e x t = ∆ U + ∆ K

Só que não existem forças externas atuando no nosso sistema e o trabalho da força externa ,     W e x t , é nulo. Consequentemente, considerando as energias potenciais final e inicial ( U f e U i ) e as e energias cinéticas final e inicial ( K f e K i ), obtemos que:

U f - U i + K f - K i = 0

U f + K f =     U i + K i

Para o instante inicial, considera-se a bola na posição mais baixa e para o final, a bola na posição mais alta. Vamos aos cálculos:

U f + K f =     U i + K i

m g ( 2 R ) + 1 2 m v t 2 =   1 2 m v b 2

m g ( 4 R ) + m v t 2 =   m v b 2

Divide-se tudo por R e ficamos com:

4 m g + m v t 2 R = m v b 2 R

m v b 2 R - m v t 2 R = 4 m g

m R v b 2 - v t 2 = 4 m g

Agora sim chegamos a algo! Se for parar pra analisar essa última relação, vemos que há um dado que é comum também a aquela relação lá do P a s s o   1 , em que terminamos de trabalhar. Logo, basta isolar esse dado e chegar ao resultado que queremos:

T b - T t = m R v b 2 - v t 2 + 2 m g  

Mas, encontramos que   m R v b 2 - v t 2 = 4 m g . Logo, basta substituir esse termo na expressão de cima e pronto. Conseguimos alcançar o resultado que desejávamos:

T b - T t = m R v b 2 - v t 2 + 2 m g  

T b - T t = 4 m g + 2 m g  

T b - T t = 6 m g

Resposta

T b - T t = 6 m g  

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