Enunciado

Na Fig. 8-33, um caminhão perdeu os freios quando estava descendo uma ladeira a 130   k m / h e o motorista dirigiu o veículo para uma rampa de emergência sem atrito com uma inclinação θ = 15 ° . A massa do caminhão é 1,2 × 10 4   k g . (a) Qual é o menor comprimento L que a rampa deve ter para que o caminhão pare (momentaneamente) antes de chegar ao final? (Suponha que o caminhão pode ser tratado como uma partícula e justifique essa suposição.) O comprimento mínimo L aumenta, diminui ou permanece o mesmo (b) se a massa do caminhão for menor e (c) se a velocidade for menor?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos analisar a questão!

Quando o caminhão passa a se deslocar na rampa de emergência sem freio, somente a força gravitacional realiza trabalho, tendo em vista que não há atrito e a força normal atua perpendicular ao deslocamento.

Assim, como o peso é uma força conservativa, podemos aplicar a conservação da energia mecânica, assim considerando o ponto inicial da ladeira de emergência como y 0 = 0 , então:

E M 0 = E M f

K 0 + U 0 = K f + U f

No ponto inicial, a altura é zero, portanto a energia potencial gravitacional é nula. Além disso, temos que o caminhão sobe a rampa até parar, ou seja, quando o caminhão alcança a altura máxima, a velocidade é nula e, portanto, a energia cinética é zero. Assim:

m v 0 2 2 + 0 = 0 + m g h

Isolando h :

h = v 0 2 2 g     e q . 1

Substituindo os valores:

h = 130 3,6 2 2 × 9,8 = 66,5   m

Obs: foi usado um fator de 1 / 3 , 6 multiplicando a velocidade para fazer a conversão de k m / h para m / s .

Mas repara que a pergunta não quer saber a altura h e sim o comprimento L .

Passo 2

  1. Para acharmos o comprimento L , temos que reparar que temos um trigângulo retângulo na figura.

Usando a definição de sin ⁡ θ podemos relacionar a altura h com o comprimento da rampa L . Sabendo que:

sin ⁡ θ = h L

Isolando o L :

L = h sin ⁡ θ     e q . 2

Substituindo os valores:

L = 66,5 sin ⁡ 15 ° = 257   m

Portanto, a rampa deve ter no mínimo 257   m de comprimento.

Passo 3

b-c) Substituindo a e q . 1 na e q . 2 , temos:

L = v 0 2 2 g sin ⁡ θ

A partir dessa relação acima, percebemos que o comprimento não depende da massa do caminhão, portanto o comprimento permaneceria igual se houvesse uma variação da massa do caminhão. Entretanto, podemos ver que o comprimento é proporcional ao quadrado da velocidade, assim, se a velocidade for menor, o comprimento diminuirá.

Resposta

  1. L = 257   m ;
  2. i g u a l ;
  3. d i m i n u i .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

41 . Um carro de montanha-russa com 350 kg parte do repouso no ponto A e desce para realizar um loop sem atrito (Figura P 7.41 ). ( a ) Com que velocidade o carro se move noponto B ? ( b ) Com que rig
71 . Um pequeno bloco com massa de 0,0500k g desliza em um círculo vertical de raio R = 0,800m no interior de uma pista circular. Não há atrito entre a pista e o bloco. Na parte inferior de sua trajet
77 . Você está projetando um pêndulo para uma feira de ciências. O pêndulo é feito a partir da conexão de uma esfera de bronze com massa m à ponta inferior de um longo fio de metal leve de comprimento
56 . Uma bola é lançada para cima com velocidade inicial de 15m / s em um ângulo de 60,0 ° acima da horizontal. Use a conservação da energia para achar a maior altura da bola acimado solo.
60 . Um trenó com seu passageiro possuem uma massa conjunta de 125k g . Ele trafega na velocidade indicada até chegar a uma colina com gelo perfeitamente liso (Figura P 7.60 ). Aque distância da base