Enunciado

São dados os seguintes vetores: A → vale 25   l b e forma um ângulo de 30 ° no sentido horário com o eixo + x e B → vale 42   l b e forma um ângulo de 50 ° no sentido horário com o eixo + y . (a) Faça um esboço e estime, visualmente a magnitude e o ângulo do vetor C → tal que 2 A → + C → - B → resulta em um vetor de magniturde de 35   l b apontando no sentido + x . (b) Repita o cáculo da Parte (a) usando o método de componentes e compare seu resultado com a estimativa feita em (a).

Passo 1

a) Oi pessoal, tudo bem? Vamos representar primeiro A → , B → e 35 i em relação a origem, só para ver a carinha deles

Agora vamos representar essa expressão vetorial:

2 A → + C → - B → = 35 i ^

Que é o mesmo que:

2 A → - B → + C → = 35 i ^

A gente fez essa rearrumação para deixar os vetores conhecidos aparecendo primeiro.

Como fica a representação? A gente vai partir da origem com um vetor com orientação de A → , mas como o dobro do módulo, para representar 2 A → . Depois saindo do final de 2 A → , vamos fazer um vetor igual a B → , mas no sentido oposto (representando - B → ).

Saindo do início de A → colocamos o vetor 35 i ^ . E saindo do final de - B → e chegando no final de 35   i ^ colocamos C → . Fica assim:

Analisandos somente visualmente, diria que o vetor C → é maior que o vetor B → , portanto maior que 42   e possui um ângulo θ maior que 50 ° . Diria que seria aproximadamente:

C = 58   l b

θ = 70 °

(Aqui é aproximado mesmo, tá? Cê pode avaliar que são outros valores próximos a esses que a gente colocou aqui)

Passo 2

b) Vamos analisar agora por meio dos cálculos. Temos que:

2 A → + C → - B → = 35 i ^

Essa relação vale para as componentes também.

2 A x + C x - B x = 35

2 A y + C y - B y = 0

Repara que 35 só aparece na expressão da componente em x porque ele está multiplicado pelo vetor unitário i ^ .

Isolando as componentes C

C x = - 2 A x + B x + 35

C y = - 2 A y + B y

Passo 3

Precisamos encontrar as componentes de A → e de B →

O vetor B → faz 50 ° com y . Lembrando que entre os eixos x e y temos 90 ° , podemos dizer que o ângulo entre esse vetor e o eixo x é 40 ° no sentido anti-horário Aí como esse ângulo está colado em x , a componente x vai ser o módulo do vetor vezes cosseno:

B x = 42 cos ⁡ 40 °

E em y usamos seno

B y = 42   s e n   40 °

Agora para A → vamos tentar entender que ângulo esse vetor faz com x no sentido anti-horário. Temos que ele faz um ângulo de 30 ° no sentido horário.

Para achar um ângulo equivalente no sentido anti-horário a outro que está no sentido horário, podemos pegar 360 ° e tirar o valor do ângulo, no nosso caso, 30 ° :

360 ° - 30 ° = 330 °

Logo, nosso vetor faz 330 ° com x no sentido anti-horário. Aí para achar as componentes fazemos o mesmo que fizemos para B → . Colocamos cosseno no x e seno no y :

A x = 25 cos ⁡ 330 °

A y = 25   s e n   330 °

Passo 4

Substituindo essas componentes na nossas equações e resolvendo:

C x = - 2 A x + B x + 35

C x = - 2 ( 25 cos ⁡ 330 ° ) + 42 cos ⁡ 40 ° + 35

C x = 23,9   l b

Agora para y

C y = - 2 A y + B y

C y = - 2 ( 25 sin ⁡ 330 ° ) + 42 sen ⁡ 40   °

C y = 52   l b

Passo 5

Com isso podemos achar o módulo de C →

C = C x 2 + C y 2

C = 23,9 2 + 52 2

C = 57   l b

E sua orientação através da fórmulinha:

θ = tan - 1 ⁡ C y C x

θ = tan - 1 ⁡ 52 23,9

θ = 65 °

Resposta

a ) C = 58   l b

θ = 70 °

b ) C = 57   l b

θ = 65 °

É possível notar que a análise gráfica não fugiu muito da resposta pelos cálculos.

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