Enunciado

47 . Considere o cabo coaxial do Problema 30.46 . As correntes dos condutores possuem o mesmo módulo i , porém seus sentidos são opostos. ( a ) Aplique a lei de Ampère para determinar o campo magnético em qualquer ponto do volume entre os condutores. ( b ) Use a expressão da densidade de energia do campo magnético, Equação 30.10 , para calcular a

energia armazenada em uma camada cilíndrica fina entre os dois condutores. Suponha que a camada cilíndrica possua raio interno r , raio externo r + d r e comprimento l . ( c ) Integre a expressão encontrada no item ( b ) sobre o volume entre os dois condutores para calcular a energia total armazenada no campo magnético para um comprimento l do cabo. ( d ) Use o resultado do item ( c ) e a Equação 30.9 para calcular a indutância L de um comprimento l do cabo. Compare sua resposta ao resultado obtido no item ( d ) do Problema 30.46 .

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

O item ( a ) quer que a gente use a lei de Ampère para achar o campo o campo magnético em qualquer ponto entre os condutores. Essa lei é da seguinte forma:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 I i

Onde I i é a corrente que passa dentro da curva amperiana que estamos considerando para o cálculo da integral.

O item ( b ) quer a energia armazenada em uma camada cilíndrica de raio interno r e externo r + d r e usando a equação 30.10 dada por:

u = B 2 2 μ 0

Essa equação nos fornece a densidade de energia, isso nada mais é que energia por unidade de volume, logo a energia armazenada é:

d U = u   d V

Onde d V é o elemento de volume da camada cilíndrica que nesse caso é dado por 2 π r l   d r . Então o que o enunciado quer a expressão de d U .

O item ( c ) quer que a gente intere a expressão que vamos achar em ( b ) para achar a energia total armazenada entre os condutores. Como podemos ver pelo elemento de volume o que varia é a direção r , que nesse caso vai variar de a (raio menor) até b (raio maior).

O item ( d ) quer o valor de L e diz para usarmos a equação 30.9 , que é dada por:

U = 1 2 L i 2

Junto com o resultado do item ( c ) , com isso a gente consegue isolar L e encontrar uma expressão para ele.

Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Temos o seguinte:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 I i

Como nesse tipo de caso (campo de fio) o campo é paralelo a d l → , temos:

∮ B   d l = μ 0 I i

Vamos char a corrente que passa pela amperiana de i . Como o campo B não tem razão para não ser homogêneo, temos:

B ∮ d l = μ 0 i

A integral de d l vai nos fornecer o comprimento da amperiana que no caso é uma circunferência, assim:

B 2 π r = μ 0 i

⇒ B = μ 0 i 2 π r

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Temos que a densidade de energia é dada por:

u = B 2 2 μ 0

Usando a expressão para o campo que chegamos em ( a ) , temos:

u = μ 0 i 2 π r 2 2 μ 0

⇒ u = μ 0 i 2 8 π 2 r 2

Agora usando isso e a expressão para o elemento de volume na expressão de d U , temos:

d U = μ 0 i 2 8 π 2 r 2   2 π r l   d r

⇒ d U = μ 0 i 2 l 4 π r   d r

Passo 4

Agora vamos para cima do item ( c ) .

Aqui nós temos que integrar a expressão que encontramos em ( b ) de r = a até r = b , então:

U = ∫ d U = ∫ a b μ 0 i 2 l 4 π r   d r

⇒ U = μ 0 i 2 l 4 π ∫ a b d r r

Então temos que:

U = μ 0 i 2 l 4 π ( ln ⁡ b - ln ⁡ a )

⇒ U = μ 0 i 2 l 4 π ln ⁡ b a

Passo 5

Agora finalmente o último item! O ( d ) .

Temos que ir atras de L , nó temos o seguinte:

U = 1 2 L i 2

E do item anterior temos:

U = μ 0 i 2 l 4 π ln ⁡ b a

Igualando as duas equações, temos:

1 2 L i 2 = μ 0 i 2 l 4 π ln ⁡ b a

⇒ L = μ 0 l 2 π ln ⁡ b a

Com isso temos uma questão finalizada em mãos!

Resposta

( a )

B = μ 0 i 2 π r

( b )

d U = μ 0 i 2 l 4 π r   d r

( c )

U = μ 0 i 2 l 4 π ln ⁡ b a

( d )

L = μ 0 l 2 π ln ⁡ b a

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