Enunciado

28 . Um circuito L - R - C em série é construído com um resistor de 175   Ω , um capacitor de 12,5   μ F e um indutor de 8,00   m H , todos conectados através de uma fonte ca com frequência variável e uma amplitude de tensão de 25,0   V . ( a ) Em qual frequência angular a impedância atingirá seu valor mínimo e qual é a impedância nessa frequência? ( b )   Na frequência angular no item ( a ) , qual é a corrente máxima que passa pelo indutor? ( c ) Na frequência angular do item ( a ) , calcule a diferença de potencial através da fonte c a , do resistor, do capacitor e do indutor no instante em que a corrente é igual à metade de seu maior valor positivo. ( d ) No item ( c ) , como as diferenças de potencial através do resistor, do indutor e do capacitor estão relacionadas à diferença de potencial através da fonte c a ?

Passo 1

Algumas equações serão hiper importantes para termos as respostas desse exercício então vamos ver algumas delas.

Em um circuito c a genérico, as amplitudes da voltagem e da corrente são relacionadas pela impedância do circuito, ou seja:

V = I Z

Aprendemos na teoria que na ressonância a voltagem e a corrente estão em fase, então:

Z = R

Ah, e não vamos esquecer de algumas que já estamos bem acostumados a usar, como:

tan ⁡ ϕ = X L - X C R     e     i = I cos ⁡ ω t

Tudo certo para matar mais uma questão? Então vem comigo que vamos fazer tudinho passo a passo.

Passo 2

a ) A impedância é dada por:

Z = R 2 + X L - X C 2 = R 2 + ω L - 1 ω C 2

Para a impedância ser mínima:

ω L - 1 ω C = 0   ⇒ ω L = 1 ω C

Isolando a frequência angular teremos:

ω = 1 L C = 1 ( 8,0 ⋅ 10 - 3   H ) ( 12,5 ⋅ 10 6 F ) = 3162   r a d / s

A impedância para essa frequência angular será:

Z = R 2 + 0 = 175   Ω

Passo 3

b ) A corrente máxima que passa pelo indutor será dada por:

I = V Z

Como falamos no Passo 1 e provamos no passo anterior Z = R quando se trata de ressonância, então:

I = V R = 25,0   V 175   Ω = 0,143   A

Passo 4

c ) Precisamos fazer a diferença de potencial para cada um dos terminais, ou seja:

Resistor – Em fase com i :

v R = R i = R I cos ⁡ ω t  

Indutor – Adiantada 90 ° em relação a i :

v L = V L cos ⁡ ( ω t + 90 ° ) = - I X L sen ⁡ ω t

Capacitor – Atrasada 90 ° em relação a i :

v C = V L cos ⁡ ( ω t - 90 ° ) = I X C sen ⁡ ω t

Fonte c a :

v = V cos ⁡ ( ω t + ϕ )  

Mas tem muitas informações que nós não temos e precisamos descobrir.

Passo 5

Primeiro vamos descobrir que é ω t através de:

i = I cos ⁡ ω t

A corrente é a metade do seu maior valor e como o maior valor é I então:

I cos ⁡ ω t = I 2 ⇒ cos ⁡ ω t = 1 2 ⇒ ω t = 60 °

Agora vamos descobrir ϕ através de:

tan ⁡ ϕ = X L - X C R

Porém como já vimos no Passo 2 sabemos que:

X L - X C = 0   ⇒   tan ⁡ ϕ = 0   ⇒   ϕ = 0

Agora que conseguimos vamos atrás das nossas respostas!

Passo 6

Voltando para as equações que tínhamos no Passo 4.

Resistor:

v R = R I cos ⁡ ω t = 175   Ω 0,143   A ( 1 / 2 ) = 12,5   V

Indutor:

v L = - I X L sen ⁡ ω t = - 0,143   A ( 3162   r a d / s ) ( 8,0 ⋅ 10 - 3   H ) ( 0,866 ) = - 3,13   V

Capacitor:

v C = I X C sen ⁡ ω t = 0,143   A 1 ( 3162   r a d / s ) ( 12 , 5 ⋅ 10 - 6   F ) ( 0,866 ) = 3,13   V

Fonte c a :

v = V cos ⁡ ( ω t + ϕ ) = ( 25   V ) ( 1 / 2 ) = 12,5   V  

Passo 7

d ) Vamos somar as diferenças de potencial através do resistor, do indutor e do capacitor:

v R + v L + v C = 12,5   V + - 3,13   V + 3,13   V = 12,5   V

Ou seja:

v R + v L + v C = v

Resposta

a )

Z = 175   Ω

b )

I = 0,143   A

c )

v R = 12,5   V

v L = - 3,13   V

v C = 3,13   V

v = 12,5   V

d )

v R + v L + v C = v

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