Enunciado

48. Um cabo coaxial. Um pequeno condutor maciço com raio a é suportado por dois discos isolantes não-magnéticos no eixo de um tubo com paredes finas com raio interno igual a b . O condutor interno e o condutor externo conduzem corrente de mesmo módulo i , porém com sentidos contrários. ( a ) Aplique a lei de Ampère para determinar o campo magnético em qualquer ponto do volume entre os condutores. ( b ) Escreva uma expressão para o fluxo magnético d Φ B através de uma faixa estreita de comprimento l paralela ao eixo, com espessura d r , situada a uma distância r do centro do cabo e sobre o plano que contém o eixo. ( c ) Integre a expressão encontrada no item ( b ) sobre o volume entre os dois condutores, para calcular o fluxo magnético produzido pela corrente i que passa no condutor central. ( d ) Mostre que a indutância L de um comprimento l do cabo é dada por

L = l μ 0 2 π ln ⁡ b a

( e ) Use a Equação ( 30.9 ) para calcular a energia magnética armazenada no campo magnético para um comprimento l no cabo.

Passo 1

Vamos discutir cada item separadamente para a gente não se embolar que essa questão é bem grandinha. Vamos lá!

Para o item ( a ) precisamos da lei de Ampère, que é dada por:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 I i n t

Mas o campo magnético entre os condutos é constante, já que esse campo provém apenas da corrente que passa no condutor interno, então ele pode sair dessa integral, assim só temos que achar quem é

∮ d l →

Agora para o item ( b ) temos que lembrar que o fluxo magnético pode ser escrito da seguinte forma:

d Φ B = B d A

O B é o campo que vamos encontrar no item anterior e d A é o elemento de área que segundo o enunciado tem comprimento l e espessura d r , assim:

d A = l d r

Para o item ( c ) basta integrar o que achamos no item anterior, assim:

Φ B = ∫ a b d Φ B

Você deve estar se perguntado por que de a até b , é assim pois o enunciado quer o fluxo no volume entre os condutores que, então é a parti do interno de raio a até o externo de raio interno b .

Para mostrar o que é pedido no item ( d ) , temos que lembrar que, segundo a equação 30.6 do livro, a indutância pode ser escrita como:

L = N Φ B i

Então vamos substituir o que encontrarmos em ( c ) nessa expressão.

E para o item ( e ) basta pegar a expressão 30.9 dada por:

U = 1 2 L I 2

E substituir o L que achamos em ( d ) .

Se você reparar um item está ligado ao outro, então temos que cuidado para não errar se não vamos carregar esse erro até o final

Passo 2

Vamos encontrar o que é pedido no item ( a ) então, temos:

∮ B → ⋅ d l → = μ 0 I i n t

Sendo B constante ele pode pular para fora da integral, assim:

B ∮ d l → = μ 0 I i n t

A integral em d l é em tordo de uma circunferência pelo fato de o condutor apresentar um raio e como essa integral é em torno do condutor, temos:

∮ d l → = 2 π r

E lembrando que I i n t = i , ficamos com:

B 2 π r = μ 0 i

⇒ B = μ 0 i 2 π r

Passo 3

Agora que temos o campo podemos achar a expressão para d Φ B , temos:

d Φ B = B d A

Lembrando que d A = l d r , temos:

d Φ B = μ 0 i 2 π r l d r

Passo 4

Agora vamos integrar o resultado passo anterior para chegar no que o item ( c ) pede, assim:

Φ B = ∫ a b d Φ B

⇒ Φ B = ∫ a b μ 0 i 2 π r l d r

Podemos jogar para fora da integral o termo:

μ 0 i l 2 π

Já que ele é constante, assim:

Φ B = μ 0 i l 2 π ∫ a b d r r

Então temos que:

Φ B = μ 0 i l 2 π ( ln ⁡ b - ln ⁡ a )

⇒ Φ B = μ 0 i l 2 π ln ⁡ b a

Passo 5

Agora vamos encontrar a expressão para indutância do item ( d ) , temos:

L = N Φ B i

Substituindo Φ B , temos:

L = N i μ 0 i l 2 π ln ⁡ b a

Onde nesse caso podemos aproximar N = 1 (o caso de uma única espira), assim:

L = l μ 0 2 π ln ⁡ b a

Passo 6

E finalmente o último item, vamos achar a energia pedida em ( e ) , temos:

U = 1 2 L I 2

Substituindo o L que encontramos e lembrando que I = i , ficamos com:

U = 1 2 l μ 0 2 π ln ⁡ b a i 2

⇒ U = l μ 0 i 2 4 π ln ⁡ b a

Resposta

( a )

B = μ 0 i 2 π r

( b )

d Φ B = μ 0 i 2 π r l d r

( c )

Φ B = μ 0 i l 2 π ln ⁡ b a

( d )

L = l μ 0 2 π ln ⁡ b a

( e )

U = l μ 0 i 2 4 π ln ⁡ b a

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