Enunciado

54. Continuação do Exercício 30.25 . ( a ) Qual é a energia total armazenada inicialmente no indutor? ( b ) Para t = 4,0 * 10 - 4   s , qual é a taxa da diminuição da energia no indutor? ( c ) Para t = 4,0 * 10 - 4   s , com que taxa a energia elétrica está sendo convertida em energia térmica no resistor? ( d ) Obtenha uma expressão para a taxa de conversão de energia elétrica em energia térmica no resistor em função do tempo. Integre essa expressão desde t = 0 até t = ∞ para obter a energia elétrica total dissipada no resistor. Compare seu resultado à resposta do item ( a ) .

Passo 1

Vamos então as informações principais para resolver esse problema, tendo elas o resto é só ficar integrando expressões.

O enunciado diz que temos uma continuação do exercício 30 . 25 , assim temos as seguintes informações:

L = 0,160   H

R = 24 0   Ω

ε = 6 0 , 0   V

Temos também que e o circuito é do tipo R - L , com:

I 0 = ε R

i t = ε R e - R / L t

A equação 30.9 mencionada nos fornece a energia armazenada em indutor e é dada por:

U L = 1 2 L i 2

Para achar a taxa de diminuição da energia no indutor, basta derivar a fórmula que temos acima em função do tempo e substituir o valor de t que o enunciado quer, assim:

d U L d t = L i d i d t

Para achar a taxa de conversão de energia elétrica em térmica no resistor, temos que lembrar que:

P R = i 2 R

E que:

d U R d t = P R = i 2 R

A expressão que o item ( d ) , é na verdade a energia no resistor, que pode ser encontrada integrando a expressão acima no intervalo de tempo que o enunciado quer, assim:

U R = ∫ 0 ∞ P R   d t

Passo 2

Vamos usar a equação 30.9 para achar a energia armazenada no indutor inicialmente, que quer dizer t = 0 , assim temos:

U L = 1 2 L I 0 2

Substituindo I 0 = ε / R , temos:

U L = 1 2 L ε R 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

U L = 1 2 0,16 60 240 2

⇒ U L = 0,005   J

Passo 3

Agora vamos achar a taxa da diminuição da energia no indutor com a fórmula que achamos no passo 1 , temos:

d U L d t = L i d i d t

Sabemos que:

i = ε R e - R / L t

E que

d i d t = - ε L e - R / L t

Juntando tudo temos que:

d U L d t = L ε R e - R / L t - ε L e - R / L t

= - ε 2 R e - 2 R / L t

Substituindo os valores que temos ficamos com:

d U L d t = - ( 60 ) 2 240 e - 2 240 / 0,16 4,0 * 10 - 4   s

= - 3600 240 e - 1,2

Então temos que:

d U L d t = - 4,52   W

Passo 4

Para achar a taxa de conversão de energia elétrica em térmica no resistor, vamos usar a seguinte relação:

d U R d t = P R = i 2 R

⇒ d U R d t = i 2 R

Substituindo i pela expressão que nós temos do passo 1 , ficamos com:

d U R d t = ε R e - R / L t 2 R

= ε 2 R e - 2 R / L t

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

d U L d t = ( 60 ) 2 240 e - 2 240 / 0,16 4,0 * 10 - 4   s

= 3600 240 e - 1,2

Então temos que:

d U L d t = 4,52   W

Passo 5

Vamos agora por último encontrar expressão pedida no item ( d ) , para isso vamos usar o seguinte:

U R = ∫ 0 ∞ P R   d t

Sabendo que:

P R = i 2 R

Substituindo i pela expressão que nós temos do passo 1 , ficamos com:

P R = ε R e - R / L t 2 R

= ε 2 R e - 2 R / L t

Então nossa integral fica assim:

U R = ∫ 0 ∞ ε 2 R e - 2 R / L t   d t

= ε 2 R ∫ 0 ∞ ε 2 R e - 2 R / L t   d t

= ε 2 R - L 2 R e - 2 ( R / L ) t 0 ∞

Assim, ficamos com:

U R = ε 2 R - L 2 R e - 2 ( R / L ) ∞ - - L 2 R e - 2 ( R / L ) 0

= ε 2 R 0 + L 2 R

Então temos que:

U R = L ε 2 2 R 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

U R = ( 0,16 ) ( 6 0 ) 2 2 ( 240 ) 2

Então, temos que:

U R = 0,005   J

É o mesmo resultado do item ( a ) , isso mostra que toda a energia que foi armazenada no indutor é dissipada no resistor depois de um tempo.

Resposta

( a )

U L = 0,005   J

( b )

d U L d t = - 4,52   W

( c )

d U L d t = 4,52   W

( d )

U R = 0,005   J

É o mesmo resultado do item ( a ) , isso mostra que toda a energia que foi armazenada no indutor é dissipada no resistor depois de um tempo.

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