Enunciado

Uma esfera condutora sólida de raio R possui uma carga positiva Q . A esfera está no interior de uma esfera oca isolante e concêntrica com raio interno R e raio externo 2 R . A esfera isolante possui uma densidade de carga uniforme ρ . a Calcule o valor de ρ para que a carga total do sistema seja igual a zero. b Usando o valor de ρ encontrado na parte a , determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico em cada uma das regiões 0 < r < R , R < r < 2 R , e r > 2 R . Mostre seus resultados em um gráfico do componente radial E → em função da distância r . c Sabemos que, geralmente, o campo elétrico é descontínuo somente através de uma fronteira onde existe uma fina camada de cargas. Explique como seu resultado da parte b confirma essa regra.

Passo 1

Para determinarmos o valor da densidade volumétrica de carga, devemos lembrar que ela é dada pela relação entre a carga total do sistema e o seu volume. Como nesse caso temos uma esfera oca, o seu volume é dado por:

V = 4 3 π 2 R 3 - R 3 = 28 3 π R 3

Ainda, precisamos lembrar que o campo elétrico no interior de um condutor sólido carregado é nulo.

E, então, considerando uma superfície gaussiana esférica que envolva as esferas, sabemos que devido a esfera condutora, a superfície interna da esfera oca tem carga + Q . Logo, para o campo elétrico em seu interior se manter nulo, a carga no exterior da esfera oca deve ser - Q para se “anular” com a carga positiva já existente.

Dessa forma, a densidade de carga uniforme será dada por:

ρ = Q V = - Q 28 3 π R 3

ρ = - 3 28 Q π R 3

Passo 2

Para saber o campo elétrico em cada situação, precisamos considerar uma superfície gaussiana adequada para cada uma delas e lembrar da lei de Gauss dada por:

Φ E = E A = Q t o t a l ϵ 0

Primeiramente, supondo uma superfície gaussiana esférica de raio r < R , temos que o seu campo elétrico será nulo por não possuir carga em seu interior.

Na região da superfície externa da esfera oca, ou seja, em r < 2 R , como a carga resultante é zero (devido a carga + Q da esfera condutora e da carga - Q no exterior da esfera oca), o campo elétrico também será nulo.

Já para a superfície gaussiana em R < r < 2 R , ela possui a carga da esfera condutora e a carga proveniente da densidade de carga uniforme da esfera isolante. Logo, o seu campo elétrico será dado por:

E A = Q t o t a l ϵ 0 → E 4 π r 2 = Q + Q ρ ϵ 0

E = 1 4 π r 2 Q ϵ 0 + 1 ϵ 0 ρ V = 1 4 π r 2 Q ϵ 0 + ρ ϵ 0 4 3 π r 3 - R 3

Logo:

E = k Q r 2 + 4 k π 3 r 2 ρ r 3 - R 3

Agora, substituindo o valor de ρ encontrado antes:

E =   k Q r 2 + 4 k π 3 r 2 r 3 - R 3 - 3 28 Q π R 3

∴ E = k Q 7 8 r 2 - r R 3

Passo 3

O gráfico deste caso pode ser dado por:

Passo 4

Através do gráfico feito com os valores do campo elétrico nos intervalos dados, podemos observar uma descontinuidade no raio R , o pode ser causado pela camada de carga presente na superfície da esfera condutora, onde há a transição dessa esfera para a esfera isolante.

Resposta

a   - 3 28 Q π R 3

b   0 < r < R →   E = 0

R < r < 2 R → E = k Q 7 8 r 2 - r R 3

r > 2 R → E = 0

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