Enunciado

48 . Considere o circuito na Figura 30.11 , com as duas chaves abertas. Em t = 0 , a chave S 1 é fechada enquanto S 2 é mantida aberta. ( a ) Use a Equação 30.14 para derivar uma equação

para a taxa P R na qual a energia elétrica está sendo consumida no resistor. Em termos de ε , R e L , em que valor de t a taxa P R é máxima? Qual é esse valor máximo? ( b ) Use as equações 30.14 e 30.15 para deduzir uma equação para P L , a taxa na qual a energia está sendo armazenada no indutor. ( c ) Qual é o valor de P L em t = 0 e quando t → ∞ ? ( d ) Em termos de ε ,   R e L , em que valor de t a taxa P L é máxima? Qual é esse valor máximo? ( e ) Obtenha uma expressão para P ε , a taxa na qual a bateria está fornecendo energia elétrica ao circuito. Em termos de ε ,   R e L , em que valor de t a taxa P ε é máxima? Qual é esse valor máximo?

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa juntos!

Quando a chave S 1 fecha, temos um circuito L - R em mãos, a equação 30.14 fornece o comportamento da corrente desse circuito em função do tempo, ela dada por:

i = ε R 1 - e - R t L

O item ( a ) quer que encontremos P R que é a potência dissipada pelo resistor, que é dada por:

P R = i 2 R

O item ( b ) quer a taxa P L que é a potência armazenada no indutor e enunciado fala para usarmos a equação 30.14 e 30.15 que é dada por:

d i d t = ε L e - R t L

E vamos usar também que:

P L = i ε L

Onde:

ε L = L d i d t

O item ( c ) quer que encontremos o valor de P L para t = 0 e t → ∞ e para isso vamos usar o resultado de ( b ) .

Agora o item ( d ) quer que encontremos t que faz P L ser máximo para isso vamos usar nossos conhecimentos de cálculo e vamos derivar P L em função de t e igualar a zero e calcular t que faz isso acontecer.

Para o item ( e ) temos que achar P ε , usando o fato de que:

P ε = i ε

E depois temos que fazer a mesma coisa que vamos fazer em ( d ) para achar o instante em que P ε é máximo e o valor dele nesse instante.

Mãos a obra!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Temos que a potência dissipada pelo resistor é dada por:

P R = i 2 R

Usando a equação que temos para a corrente i , ficamos com:

P R = ε R 1 - e - R t L 2 R

= ε 2 R 2 1 - 2 e - R t L + e - 2 R t L R

Assim temos que:

P R = ε 2 R 1 - 2 e - R t L + e - 2 R t L

Esse cara vai ter seu valor máximo quando t → ∞ , pois assim as exponenciais vão a zero e temos que:

P R = ε 2 R

Passo 3

Vamos para o item ( b ) .

A potência de energia armazenada no indutor é dada por:

P L = i ε L

Temos que:

ε L = L d i d t

No passo 1 , vimos que:

d i d t = ε L e - R t L

Agora juntando tudo, temos:

P L = ε R 1 - e - R t L L ε L e - R t L

⇒ P L = ε 2 R 1 - e - R t L e - R t L

Passo 4

Agora vamos para o item ( c ) .

Temos que achar o valor de P L pra t = 0 e t = ∞ , então vamos pegar a expressão que encontramos no item anterior e achar esses caras.

Começando com t = 0 .

P L = ε 2 R 1 - e - R ( 0 ) L e - R 0 L

⇒ P L = ε 2 R 1 - 1 1

Então temos que:

P L = 0

Agora para t → ∞ , temos:

P L = ε 2 R 1 - e - R ( ∞ ) L e - R ∞ L

⇒ P L = ε 2 R 1 - 0 0

Assim temos que:

P L = 0

Passo 5

Agora vamos para o item ( d ) .

Esse item temos que encontrar o valor de t uqe faz P L máximo. Então vamos usar aquela jogada do cálculo que vimos no passo 1 , temos:

d P L d t = ε 2 R R L e - R t L e - R t L - R L 1 - e - R t L e - R t L = 0

⇒ ε 2 L e - R t L 2 e - R t L - 1 = 0

Então para isso ser verdade temos que:

2 e - R t L - 1 = 0

⇒ 2 e - R t L = 1

⇒ e - R t L = 1 2

Aplicando l n nos dois lados, temos:

- R t L = ln ⁡ 1 2

⇒ t = L ln ⁡ 2 R

Agora temos que achar o valor de P L para esse t , temos:

P L = ε 2 R 1 - e - R L L ln ⁡ 2 R e - R L L ln ⁡ 2 R

= ε 2 R 1 - e - ln ⁡ 2 e - ln ⁡ 2

= ε 2 R 1 - e ln ⁡ 1 / 2 e ln ⁡ 1 / 2

= ε 2 R 1 - 1 2 1 2

Então temos que:

P L = ε 2 4 R

Passo 6

Vamos para o item ( e ) !!

Aqui temos que achar o valor de t que faz P ε ser máximo, temos que:

P ε = i ε

Usando a expressão que conhecemos, para i , temos:

P ε = ε R 1 - e - R t L ε

⇒ P ε = ε 2 R 1 - e - R t L

Olhando essa expressão podemos ver que ela só vai ser máxima quando:

1 - e - R t L = 1

Então:

e - R t L = 0

Para que essa exponencial seja zero, temos que:

t → ∞

E assim o valor máximo de P ε é dado por:

P ε = ε 2 R

Questão finalizada com sucesso!

Resposta

( a )

P R = ε 2 R 1 - 2 e - R t L + e - 2 R t L

Vai ser máximo para t → ∞ e igual a ε 2 R .

( b )

P L = ε 2 R 1 - e - R t L e - R t L

( c )

P L 0 = 0

P L t → ∞ = 0

( d )

t = L ln ⁡ 2 R

P L = ε 2 4 R

( e )

P ε = ε 2 R 1 - e - R t L

Vai ser máximo para t → ∞ e igual a ε 2 R .

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