Enunciado

54 . Um capacitor de 6,40   n F é carregado a 24,0   V e depois desconectado da bateria no circuito e conectado em série com uma bobina que possui L = 0,0660   H e resistência desprezível. Depois que o circuito estiver fechado, haverá oscilações de corrente. ( a ) Em um instante em que a carga do capacitor é igual a 0,0800   μ C , quanta energia estará armazenada no capacitor e no indutor, e qual é a corrente no indutor? ( b ) No instante em que a carga no capacitor for 0,0800   μ C , quais são as voltagens no capacitor e no indutor, e qual é a taxa na qual a corrente no indutor está variando?

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Inicialmente quando o capacitor acaba de ser conectado com o indutor toda a energia do sistema está no capacitor, logo essa energia inicial ( U 0 ) é a energia total.

Depois com o tempo o capacitor vai descarregando e perdendo energia e com isso o indutor vai ganhando energia, assim:

U 0 = U C + U L

A energia no capacitor e no indutor são dadas por:

U C = q 2 2 C = 1 2 C V 2

U L = 1 2 L i 2

A partir disso poderemos encontrar a energia do capacitor e do indutor no instante que o item ( a ) pede e poderemos encontrar a voltagem no capacitor pedido em ( b ) .

Para achar a taxa de variação da corrente no indutor, vamos usar o fato de que:

L d i d t = q C

Então podemos calcular d i / d t a partir disso.

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) .

Vamos primeiro encontrar a energia total do sistema, que é igual a energia inicial do capacitor.

U 0 = 1 2 C V 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

U 0 = 1 2 ( 6,4 × 10 - 9 ) ( 24 ) 2

⇒ U 0 = 1,84 × 10 - 6   J

Agora vamos calcular a energia no capacitor no instante que a carga é igual a 0,08   μ C = 0,08 × 10 - 6   C , temos:

U C = q 2 2 C

⇒ U C = ( 0,08 × 10 - 6 ) 2 2 ( 6,4 × 10 - 9 )

Assim temos que:

U C = 0,5 × 10 - 6   J

Agora que temos essas energias podemos encontrar a energia no indutor, temos:

U L = U 0 - U C

Assim temos que:

U L = 1,84 × 10 - 6   J - 0,5 × 10 - 6   J

⇒ U L = 1,34 × 10 - 6   J

Passo 3

Para encontrar a corrente nesse instante, podemos usar a expressão da energia no indutor, já que:

U L = 1 2 L i 2

Como acabamos de calcular U L podemos isolar i e calcular seu valor.

i = 2 U L L

Substituindo os valores, temos:

i = 2 ( 1,34 × 10 - 6 ) 0,066

⇒ i = 6,37 × 10 - 3   A

Passo 4

Agora vamos para o item ( b ) .

Vamos primeiro achar a voltagem no capacitor no instante que q = 0,08   μ C , temos que:

U C = 1 2 C V 2

No passo anterior a gente calculou U C nesse instante, então podemos isolar V nessa expressão e calcular seu valor.

V = 2 U C C

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

V = 2 ( 0,5 × 10 - 6 ) 6,4 × 10 - 9

⇒ V = 12,5   V

Passo 5

Agora vamos atrás da taxa de variação da corrente, temos que:

L d i d t = q C

Isolando d i d t , temos:

d i d t = q L C

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

d i d t = 0,08 × 10 - 6 ( 0,066 ) ( 6,4 × 10 - 9 )

⇒ d i d t = 189,4   A / s

Finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

( a )

U C = 0,5 × 10 - 6   J

U L = 1,34 × 10 - 6   J

i = 6,37 × 10 - 3   A

( b )

V = 12,5   V

d i d t = 189,4   A / s

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