Enunciado

53. A ponte Royal Gorge sobre o rio Arkansas (EUA) está a 310 m acima do rio. Uma praticante de bungee-jump de 60   K g ,   tem uma corda elástica, cujo comprimento quando não tensionada é de 50   m , presa aos seus pés. Suponha que, como uma mola ideal, a corda não possui massa e aplica uma força restauradora linear quando tensionada. A saltadora se lança e, em seu ponto mais baixo, mal consegue tocar a água. Após inúmeras subidas e descidas, ela termina a uma altura h acima da água. Aplique à saltadora o modelo de partícula pontual e despreze a resistência do ar.

(a) Determine h .

(b) Encontre a rapidez máxima da saltadora.

Passo 1

Bom! O primeiro mandamento das questões de trabalho e energia é definir o zero de potencial gravitacional U = 0 . Vamos ver! Acho que a melhor posição para ser a origem do nosso referencial é de a altura inicial de onde a moça está saltando. Escolhemos a ponte, então, como origem

Como o trabalho das forças externas, W e x t = 0 , podemos usar conservação de energia mecânica para relacionar as energias que atuam em nosso sistema.

Vamos aos cálculos!

Passo 2

a) Da figura, tiramos que h = L - d - x . O valor de d já temos, igual a 50   m , que é o comprimento quando a corda não está tensionada. Mas e h ? Como vamos obter?

Vamos aplicar a conservação de energia mecânica para o sistema, onde K é a notação de energia cinética, U é a notação de energia potencial e W e x t é o trabalho da força externa. Então, chegamos a:

W e x t = ∆ U + ∆ K

Mas como W e x t = 0 , uma vez que não existem forças externas atuando temos que:

∆ U + ∆ K = 0

Só que ∆ U e ∆ K , nada mais são do que a diferença entre as energias final   ( U f   e K f ) e inicial ( U i   e K i ). Com isso, obtemos que:

( U f -   U i + K f - K i ) = 0

Agora, vamos analisar com calma o nosso problema. A questão pede o valor de h . Logo, é conveniente usar como instante inicial, aquele em que a saltadora vai começar a pular da ponte, em repouso. Para o instante final, usemos a deformação máxima, no momento em que ela mal chega a tocar a água, faltando apenas um bocadinho de nada para tocar o rio. Tão de nada, que a gente até ignora! Bom! Baseado nessa análise, U i   , K i e   K f valem zero e nossa equação fica assim:

  U f = 0

Mas não se esquece aí, que a energia potencial final U f é a soma da energia potencial gravitacional, que vai ser negativa em razão do sentido positivo do nosso referencial ser para cima, e a energia potencial elástica.

- m g L + 1 2 k s ² = 0

Onde s é a deformação da corda dada por s = L - d = 310   m - 50   m = 260 m .

Como precisamos do valor de k :

- m g L + 1 2 k s ² = 0

k = 2 m g L s 2

k = 2 ( 60 k g ) ( 9,81   m / s ² ) ( 310   m ) ( 260   m ) 2  

k = 5,40   N / m

Agora, vamos fazer uma análise das forças de nosso sistema. O enunciado da nossa questão diz que a corda aplica uma força restaurada quando tensionada. Ou seja, esse força restauradora opõe-se à força que puxa nossa saltadora para baixo, a força peso. Após realizar então inúmeras subidas e descidas , então porque a nossa saltadora para a uma altura h da água?

Ora! É simples! A força peso e a força restauradora, que é originada através da deformação x   ,tem o mesmo módulo e sentidos opostos. De modo que:

k x - m g = 0

x = m g k

x = ( 60   k g ) ( 9,81   m / s ² ) 5,40   N / m

x = 109   m

Já obtemos d , que foi fornecido pelo enunciado e igual a 50 m . Conseguimos h . O que falta então?

A resposta é mais nada. Só fazer uma subtração:

h = L - d - x

h = 310   m - 50   m - 109   m

h = 151   m

Passo 3

b) Assim como na letra a, vamos aplicar a conservação da energia mecânica para o nosso sistema. Mas desta vez, sem enrolação! Vamos direto pro que interessa

U f ' -   U i + K f ' - K i ) = 0

Onde U f ' e K f ' ,são respectivamente as energias potencial gravitacional e cinética, desta vez quando a bolinha encontra-se na altura h ' , onde a velocidade é igual a 1,4   m / s . Logo a relação de antes ficará assim:

U f ' + K f ' = 0

K f ' = - U f '

Ah! Esqueci de falar! U i é a mesma da letra a e igual a 0

Vamos aplicar as fórmulas relativas só para a energia potencial, sem perder tempo:

K f ' = - ( - m g d + x + 1 2 k x 2 )

K f ' = m g d + x - 1 2 k x 2

Porque fizemos isso? A resposta é simples. Se derivarmos K f ' em relação a x , e igualarmos a 0 , vamos encontrar logo de uma vez em que a posição a velocidade é máxima:

d ( K f ' ) d x = d d x m g d + x - 1 2 k x 2 = 0

m g - k x = 0

x = m g k

Como obtemos antes, que:

K f ' = m g d + x - 1 2 k x 2

Basta então substituir o x correspondente:

1 2 m v 2 = m g d + x - 1 2 k x 2

m v 2 = 2 m g d + x - k x 2

v 2 = 2 g d + x - k x 2 m

v = 2 g d + x - k x 2 m

Mas, olha só. Já obtemos na letra a, que x = 109   m . É só cair pro abraço:

v = 2 ( 9,81   m / s ² ) 50   m + 109   m - ( 5,4   N / m ) ( 109 ) 2 ( 60   K g )

v ≅ 45,0   m / s

Resposta

a) h = 109   m  

b) v = 45   m / s

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