Enunciado

49. Uma montanha-russa consiste em um único loop. O carrinho é, inicialmente empurrado, adquirindo a energia mecânica exatamente necessária para que os passageiros se sintam "sem peso" no ponto mais alto do arco circular. ​​Eles se sentirão com qual peso ao passarem pela base do arco (ou seja, qual é a força normal exercida para cima quando eles estão na base do arco)? Dê sua resposta como um múltiplo de m g (o peso real dos passageiros). Desconsidere atrito ou resistência do ar.

Passo 1

Sejam R o raio do loop e m , a massa de um dos passageiros . No topo do circuito, a força centrípeta atuando sobre a pessoa é o seu peso (a força da gravidade). As duas forças que atuam sobre ela na parte inferior do circuito são a força normal exercida pelo banco do carro, empurrando-a para cima e a força da gravidade,puxando-a para baixo. O que temos que fazer, portanto, é aplicar a segunda lei de Newton, nas sitauções em que o carrinho encontra-se na base e no topo do arco circular. Aí sim! Mãos à obra!

Ahhh! Já ia esquecendo! O solo é a origem do nosso referencial gravitacial U = 0 .

Passo 2

Vamos aplicar o somatório das forças na direção radial para os dois casos propostos no P a s s o   1 . Lembra aí que aceleração radial, na verdade, é a aceleração centrípeta.

Para o carrinho no topo, onde a velocidade é v t :

∑ F r a d i a l = m a r a d i a l

m g = m v t 2 R

v t 2 = g R

Para o carrinho na base, onde a velocidade é v b :

∑ F r a d i a l = m a r a d i a l

F n - m g = m v b 2 R

F n = m v b 2 R + m g

Passo 3

Alguem aí ouviu falar em atrito no enunciado da questão? Bom, se ninguém ouviu é porque não existe, e se não existe no nosso sistema há conservação de energia mecânica E m :

E m , i n i c i a l = E m , f i n a l

Agora o que temos que fazer é inserir as energias potencial gravitacional U e cinética K , no contexto da nossa questão. Vamos lá!

No ponto b, base do loop, o carrinho está na origem do referencial, mas com uma determinada velocidade v b . Logo só há energia cinética nesse ponto, que chamaremos de K b . Já quando o carrinho, executa o looping em t , encontra-se a uma altura 2 R em relação ao solo com uma dada velocidade v t . Consequentemente, energia potencial gravitacional e cinética estão presentes nesse momento, denominadas U t e K t . Igualemos então as energias final e inicial:

K b = U t + K t

m v b 2 2 = m g 2 R + m v t 2 2

Mas, no P a s s o   2 chegamos que v t 2 = g R .

m v b 2 2 = m g 2 R + m g R 2

m v b 2 2 = 5 m g R 2

v b 2 = 5 g R

Falta agora dar o golpe final: substituir v b 2 = 5 g R   na fórmula de F n , obtida anteriormente:

F n = m v b 2 R + m g

F n = 5 m g R R + m g

F n = 6 m g

Resposta

A pessoa sentirá 6   vezes o próprio peso, pois a normal   F n = 6 m g .

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