Enunciado

54. Um bloco de massa   m desliza sem atrito por um trilho e depois descreve um loop vertical circular de raio R . De que altura mínima h o bloco deve partir a fim de completar o loop sem sair do trilho no topo? Expresse sua resposta como um múltiplo de R .

Passo 1

O enunciado deixa claro que o bloco irá deslizar sem atrito pelo trilho, sendo assim, a energia potencial será conservada durante o movimento do bloco.

Para descobrir qual será a altura inicial precisamos usar a equação da conservação da energia mecânica:

K f + U g f = K i + U g i → 1 2 m v f 2 + m g y f = 1 2 m v i 2 + m g y i

Onde, o resultado que queremos é h = y i .

Vamos definir a origem do nosso sistema diretamente abaixo da posição inicial do bloco e que o bloco parte do repouso, pois assim iremos conseguir algumas informações sobre o problema. Então vamos aplicar essas informações na conservação de energia e ver o que acontece.

Contudo, nada sabemos da velocidade que o bloco precisa ter para passar por cima sem cair, e precisaremos dela na fórmula, ou seja, precisaremos encontrar a velocidade crítica (que fará o bloco cair) primeiro para depois usar a conservação de energia. Então, vamos lá que de resto eu vou explicando!

Passo 2

Substituindo as informações que podemos tirar no enunciado e do ponto de partida que definimos, temos que:

1 2 m v f 2 + m g ( 2 R ) = 0 + m g h

Contudo, nada sabemos da velocidade que o bloco precisa ter para passar por cima sem cair ( v f ) , ou seja, precisaremos encontrar a velocidade crítica (que fará o bloco cair) para continuar.

Passo 3

Fazendo o diagrama de corpo livre do bloco no topo do loop, temos que:

Sendo assim, pela Segunda Lei de Newton:

F G + n = m a

a , nesse caso, é aceleração centrípeta e:

a c = v c 2 R

Então ficaremos com ficaremos com:

F G + n = m v c 2 R

Quando o bloco sai do trilho sua normal será zero pois não terá mais contato entre eles, então para podermos achar a velocidade crítica temo que substituir n = 0 na equação, ou seja:

F G =   m v c 2 R

Sabemos também que F G = m g :

m g = m v c 2 R → v c 2 = g R = v f 2

Prontinho, agora é só substituir na equação do passo anterior.

Passo 4

Vamos usar a conservação de energia substituindo todas as informações que temos:

1 2 m g R + m g 2 R = m g h → 1 2 R + 2 R = h → h = 5 R 2 = 2,5 R

Prontinho, temos nossa solução!

Resposta

h = 2,5   R

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