Enunciado

75. Como hobby, você gosta de participar de encenações de batalhas da Guerra Civil Norte-Americana. Os canhões daquela época eram “carregados pela boca”, no sentido de que uma carga de pólvora e uma bola de canhão eram inseridas pela saída da arma e, depois, pressionadas com um longo pilão. Para recriar os canhões autênticos carregados pela boca, mas sem o perigo dos canhões de verdade, os atores da encenação da Guerra Civil inventaram um canhão em que uma mola arremessa uma bola de plástico de 1,0   k g . Uma mola, de constante elástica igual a 3000   N / m , é fixada na extremidade traseira do cano. Você coloca uma bola dentro do cano, depois usa um longo pilão para pressionar a bola contra a mola a fim de armar a mola na posição correta, pronta para disparar. Para engatar o gatilho da mola, a bola deve estar se movendo com, no mínimo, 2,0   m / s quando a mola estiver comprimida em 30   c m . O coeficiente de atrito cinético da bola com o cano é de 0,30 . O pilão não toca a lateral do cano.

a. Se você empurra o pilão com uma força constante, qual é o mínimo valor de força que deve comprimir a mola até engatar a mola? Considere que nenhum esforço seja necessário para empurrar a bola cano abaixo até que ela faça contato com a mola pela primeira vez.

b. Quanto vale a velocidade da bola na boca do canhão se ela percorre uma distância total de 1,5   m até a extremidade do cano?

Passo 1

Bom! A melhor forma de se começar resolvendo esse problema, é fazer um esboço do que está acontecendo em nosso problema.

A imagem abaixo, retrata o que está acontecendo tanto na letra ( a ) quanto na ( b ) , desse problema...

Passo 2

a) Sendo assim, vamos a esse primeiro item...

Se liga só! Vamos usar conversação da energia pra resolver essa primeira parte...

Bom! Pelo que lemos do enunciado... Graças ação de uma força F , a mola vai ser comprimida da posição x 0 até x 1 , onde a bola vai estar com velocidade de 2   m / s .

Mas não podemos esquecer que o contato entre o cano e a bola tem atrito.

Sendo assim, a energia inicial não é igual a final. Pelo contrário, o trabalho da força F menos o trabalho dissipativo da força de atrito será igual a energia quando a mola estiver comprimida e a bola com velocidade de 2,0   m / s .

Logo,

W f o r ç a   e x t e r n a - W f o r ç a   d e   a t r i t o = K 1 + U 1

F x 1 - x 0 - μ k m g x 1 - x 0 = 1 2 m v 1 2 + 1 2 k ( x 1 - x 0 ) 2

F x 1 - x 0 = μ k m g x 1 - x 0 + 1 2 m v 1 2 + 1 2 k ( x 1 - x 0 ) 2

Como μ k = 0,30 e m = 1,0   k g ... Então;

F x 1 - x 0 = μ k m g x 1 - x 0 + 1 2 m v 1 2 + 1 2 k ( x 1 - x 0 ) 2

F ( 0,30   m ) = ( 0,30 ) ( 1,0   k g ) ( 9,81   m / s ² ) 0,30   m + 1 2 ( 1,0   k g ) ( 2,0   m / s ) 2 + 1 2 ( 3000   N / m ) ( 0,30 ) 2

F 0,30   m = 137,9   J

F ≅ 460   N

Conseguimos obter finalmente a nossa força de compressão!

Passo 3

b) Já para esse segunda letra, novamente vamos se aproveitar das relações de energia.

Bem! A bola que entra no cano fazendo a bola se comprimir, não vai estar mais com uma velocidade de 2,0   m / s . A velocidade de 2,0   m / s foi no início da compressão.

Quando a compressão terminou, a bola já vai estar com uma velocidade nula, pronta para ser rebatida de volta. Considerando esse momento, como o inicial para a nossa análise, a energia presente nele vai ser...

E i n i c i a l = 1 2 k ( x 1 - x 0 ) 2

Nosso cano tem atrito, né não!? Sendo assim, essa energia inicial vai ser dissipada pela presença do atrito, cuja energia de dissipação vale...

W f o r ç a   d e   a t r i t o = μ k m g x 2 - x 1

Por fim, após percorrer o tubo, a bolinha sai com uma velocidade tal, que chamaremos de v 2 . Nesse instante, a energia cinética é a única presente.

E f i n a l = 1 2 m v 2 2

Adquirimos então, a seguinte relação...

E i n i c i a l - W f o r ç a   d e   a t r i t o = E f i n a l

1 2 k ( x 1 - x 0 ) 2 - μ k m g x 2 - x 1 = 1 2 m v 2 2

Como x 2 - x 1 = 1,5   m ...

1 2 ( 3000   N / m ) ( 0,30   m ) 2 - ( 0,30 ) ( 1,0   k g ) ( 9,81   m / s ² ) 1,5   m = 1 2 ( 1,0   k g ) v 2 2

0,5   k g v 2 2 + 4,41   J = 135   J

0,5   k g v 2 2 = 130,49   J

v 2 = 130,49   J 0,5   k g

v 2 = 16,2   m / s

Pronto! Essa é a velocidade da bola quando sai do cano!

Resposta

a)

F ≅ 460   N

b)

v 2 = 16,2   m / s

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