Enunciado

54 . As tecnologias atuais da ciência de materiais permitem aos engenheiros construir capacitores com valores de C muito maiores do que era possível anteriormente. Um capacitor de C = 3.000   F suporta, de acordo com sua classificação, uma diferença de potencial máxima de 2,7   V . O capacitor cilíndrico possui diâmetro de 6,0   c m e comprimento de 13,5   c m . ( a ) Determine a energia potencial elétrica máxima que pode ser armazenada nesse capacitor. ( b ) Seu valor para o item ( a ) concorda com o valor de 3,0   W h impresso no capacitor? ( c ) Qual é a densidade de energia máxima atingível nesse capacitor? ( d ) Compare essa densidade de energia máxima com a densidade de energia máxima possível para o poliéster (veja a Tabela 24.2 ).

Passo 1

Vem comigo que a gente acaba com essa juntos!

Para encontrar a energia em capacitor podemos usar a seguinte equação:

U = 1 2 C V 2

Para conferir o que o item ( b ) pede temos que usar o fato de que W h = ( J / s ) ( 3600   s ) .

Para encontrar a densidade de energia que o item ( c ) quer, vamos lembrar que densidade de energia é energia por unidade de volume, logo:

u = U V o l

Onde esse volume vai ser o do cilindro.

E para comparar essa densidade com a do poliéster, temos que calcular a densidade do poliéster, podemos usar a seguinte equação:

u = 1 2 K ϵ 0 E 2

Olhando a tabela 24.2 , podemos ver que K = 3,3 e E = 6 × 10 7   V / m para o poliéster.

Vamos as contas!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Temos que:

U = 1 2 C V 2

Substituindo com os valores que o enunciado nos deu, temos:

U = 1 2 ( 3000 ) ( 2,7 ) 2

⇒ U = 1,1 × 10 4   J

Passo 3

Agora vamos paro o item ( b ) .

O valor impresso no capacitor é de 3   W h , usando a relação que vimos no passo 1 , temos:

3   W h = 3   ( J / s ) ( 3600   s )

= 1,1 × 10 4   J

Que está de acordo com o que encontramos!

Passo 4

Agora vem o item ( c ) , temos que:

u = U V o l

O volume do cilindro é dado por:

V o l = π r 2 h

Onde r é o raio dele e h a altura, assim:

V o l = π 0,03 2 ( 0,135 )

⇒ V o l = 3,82 × 10 - 4   m 3

Então temos que:

u = 1,1 × 10 4 3 , 82 × 10 - 4

⇒ u = 2,9 × 10 7   J / m 3

Passo 5

Vamos agora para o item ( d ) .

Temos que calcular a densidade de energia do poliéster, assim:

u = 1 2 K ϵ 0 E 2

Substituindo com os valores que conhecemos, temos:

u p = 1 2 ( 3,3 ) ( 8,854 × 10 - 12 ) ( 6 × 10 7 ) 2

⇒ u p = 5,3 × 10 4   J / m 3

Agora para comparar coma densidade que encontramos no passo anterior, vamos fazer a razão entre essas duas densidades, assim:

u u p = 2,9 × 10 7   J / m 3 5,3 × 10 4   J / m 3

⇒ u u p ≈ 547,2

Então a densidade do cilindro é cerca de 547,2 vezes maior que a do poliéster.

Resposta

( a )

U = 1,1 × 10 4   J

( b )

Explicado acima.

( c )

u = 2,9 × 10 7   J / m 3

( d )

Explicado acima.

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