Enunciado

61 . Uma força conservadora F → está atuando no sentido + x e possui módulo F x = α / x + x 0 2 , onde a α = 0,800   N ⋅ m 2 e x 0 = 0,200   m . ( a ) Qual é a função da energia potencial U ( x ) para essa força? Considere que U x → 0 quando x → ∞ . ( b ) Um objeto com massa m = 0,500   k g é liberado do repouso em x = 0 e move-se no sentido + x . Se F → é a única força atuando sobre o objeto, qual é a velocidade do objeto quando ele atinge

x = 0,400   m ?

Passo 1

Vem comigo que a gente dá conta desse exercício!

Para esse problema vamos usar a seguinte relação entre uma força conservativa e a energia potencial para essa força.

F → = - ∇ U

Para o nosso caso como estamos em uma dimensão, temos que:

F x = - d U d x

⇒ d U = - F x d x

Então integrando dos dois lados, temos que:

U = - ∫ ∞ x F x d x

Depois que encontrarmos essa energia potencial podemos usar a conservação de energia para achar a velocidade do objeto em x = 0,4   m , já que:

K i + U i = K f + U f

Como o objeto parte do repouso, temos que:

U i = K f + U f

Vamos as contas!

Passo 2

Temos que encontrar primeiro U , assim:

U = - ∫ ∞ x F x d x

⇒ U = - ∫ ∞ x α x ' + x 0 2 d x '

⇒ U ( x ) = α x + x 0

Passo 3

Agora podemos encontrar a velocidade no ponto pedido em ( b ) .

U i = K f + U f

⇒ α x i + x 0 = 1 2 m v f 2 + α x f + x 0

Isolando v f , temos:

v f = 2 α m 1 x i + x 0 - 1 x f + x 0

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

v f = 2 ( 0,8 ) 0,5 1 0 + 0,2 - 1 0,4 + 0,2

= 3,2 ( 5 - 1,7 )

Assim temos que:

v f = 3,25   m / s

Essa é a velocidade no objeto em x = 0,4   m .

Resposta

( a )

U ( x ) = α x + x 0

( b )

v f = 3,25   m / s

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