Enunciado

69 . Para investigar as propriedades de um grande solenoide industrial, você conecta o solenoide e um resistor em série com uma bateria. As chaves permitem que a bateria seja substituída por um curto-circuito do solenoide e do resistor. Portanto, a Figura 30.11 pode ser usada, com R = R e x t + R L , em que R L é a resistência do solenoide e R e x t é a resistência do resistor em série. Com a chave S 2 aberta, você fecha S 1 e a mantém fechada até que a corrente i no solenoide seja constante (Figura 30.11 ). Depois, simultaneamente, S 2 é fechada e S 1 é aberta, usando um mecanismo de comutação com resposta rápida. Com um aparelho eletrônico de alta velocidade, você mede o tempo t m e i o necessário para que a corrente diminua até metade de seu valor inicial. Essa medição é repetida para diversos valores de R e x t e obtêm-se estes resultados:

( a ) Desenhe um gráfico de seus dados na forma de 1 / t m e i o em função de R e x t . Explique por que os pontos de dados desenhados dessa forma ficam próximos de uma linha reta. ( b ) Use seu gráfico do item ( a ) para calcular a resistência R L e a indutância L do solenoide. ( c ) Se a corrente no solenoide for 20,0   A , quanta energia está armazenada lá? A que taxa a energia elétrica está sendo dissipada na resistência do solenoide?

Passo 1

Vamos juntos detonar com essa questão!

A primeira coisa que o enunciado quer é o gráfico desse dados, até aí tudo bem, os pontos de R e x t vão ser os pontos do eixo x e os pontos de 1 / t m é d são os pontos do eixo y .

Em um circuito R - L a corrente é dada pela seguinte expressão:

i = i 0 e - R t L

Os dados que o enunciado nos deu são para os instante t onde temos a corrente igual a metade da que tínhamos inicialmente, assim:

i = i 0 2

Usando também que R = R L + R e x t , a função da corrente fica da seguinte forma:

i 0 2 = i 0 e - R L + R e x t t m é d L

⇒ ln ⁡ 1 2 = - R L + R e x t t m é d L

⇒ ln ⁡ 2 = R L + R e x t t m é d L

Agora podemos isolar 1 / t m é d e encontrar uma função referente ao gráfico que vamos fazer.

1 t m é d = R L ln ⁡ 2 L + R e x t ln ⁡ 2 L

Então vamos poder comparar essa função com a função fornecida pelos parâmetros do gráfico e achar o valor de L e R L .

Para encontrar a energia armazenada no solenoide pedida em ( c ) podemos usar a seguinte equação:

U L = 1 2 L i 2

Onde vamos usar o valor de L que encontraremos em ( b ) .

Esse item também quer saber a taxa de energia dissipada na resistência do solenoide. Taxa de energia é a mesma coisa que potência e a potência dissipada é dada por:

P = i 2 R

Onde no nosso caso vai R L .

Mãos à obra então!

Passo 2

Começando com o item ( a ) . O nosso gráfico fica da seguinte forma:

No passo 1 chegamos em uma expressão que representava bem esses pontos, dada por:

1 t m é d = R L ln ⁡ 2 L + R e x t ln ⁡ 2 L

Como 1 / t m é d tem uma dependência linear com R e x t o gráfico tende a ter esse comportamento de reta.

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Os pontos do gráfico nos fornecem a seguinte equação:

1 t m é d = 0,169 R e x t + 0,8531

Comparando com a expressão que chegamos, temos que:

R L ln ⁡ 2 L = 0,8531

1 ln ⁡ 2 L = 0 , 169

Da segunda equação podemos encontrar L e conhecendo o valor dele podemos encontrar R L com a primeira equação. Vamos fazer essas contas!

1 ln ⁡ 2 L = 0,169

⇒ L = 8,54   H

Agora podemos encontrar R L .

R L ln ⁡ 2 ( 8,54 ) = 0,8531

⇒ R L = 5,05   Ω

Passo 4

E agora o item ( c ) .

A energia armazenada no solenoide é dada por:

U L = 1 2 L i 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

U L = 1 2 ( 8,54 ) ( 20 ) 2

⇒ U L = 1708   J

Agora a potência dissipada é dada por:

P = i 2 R L

⇒ P = 20 2 ( 5,05 )

Então:

P = 2020   W

Com isso finalizamos nossa questão com sucesso!

Resposta

( a )

( b )

L = 8,54   H

R L = 5,05   Ω

( c )

U L = 1708   J

P = 2020   W

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