Enunciado

40 . Um circuito L - R - C em série possui L = 0,400   H , C = 7,00   μ F e R = 320   Ω . Em t = 0 , a corrente é zero e a carga inicial no capacitor é 2,80 × 10 - 4   C . ( a ) Quais são os valores das constantes A e ϕ na Equação 30.28 ? ( b ) Quanto tempo é necessário para cada oscilação de corrente completa após a chave desse circuito ser fechada? ( c ) Qual é a carga no capacitor após a primeira oscilação de corrente completa?

Passo 1

Vem comigo detonar essa questão!

O item ( a ) quer os valores de A e ϕ da equação 30.28 , essa equação é a seguinte:

q = A e - ( R / 2 L ) t cos ⁡ 1 L C - R 2 4 L 2 t + ϕ

Essa equação fornece o comportamento da carga no circuito R - L - C . Para podermos achar A e ϕ , vamos usar as condições iniciais que o enunciado nos dá.

Para achar o tempo pedido em ( b ) que é o tempo de uma oscilação temos que o termo do argumento do cosseno deve ser igual 2 π já que teremos uma “volta” completa, assim:

1 L C - R 2 4 L 2 t + ϕ = 2 π

Então temos que isolar t e calcular o seu valor.

Depois para calcularmos a carga depois dessa oscilação pedido em ( c ) , vamos substituir o t que vamos encontrar em ( b ) e substituir na equação 30.28 , mas como o teremos cos ⁡ ( 2 π ) = 1 , temos:

q = A e - ( R / 2 L ) t

Vamos as contas!

Passo 2

Começando com o item ( a ) .

Vamos aplicar as condições iniciais na equação 30.28 , assim:

2,8 × 10 - 4 = A e - ( R / 2 L ) ( 0 ) cos ⁡ 1 L C - R 2 4 L 2 ( 0 ) + ϕ

⇒ 2,8 × 10 - 4 = A cos ⁡ ϕ

Usando o fato de que A representa a carga inicial do circuito, temos que:

A = 2,8 × 10 - 4   C

ϕ = 0

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Temos que:

1 L C - R 2 4 L 2 t + ϕ = 2 π

Como já sabemos que ϕ = 0 , temos:

1 L C - R 2 4 L 2 t = 2 π

⇒ t = 2 π 1 L C - R 2 4 L 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

t = 2 π 1 ( 0,4 ) ( 7 × 10 - 6 ) - ( 320 ) 2 4 ( 0,4 ) 2

= 2 π 197142,85

Então temos que:

t = 0,0142   s

Passo 4

E por último o item ( c ) .

Temos que achar o valor da carga para t = 0,0142   s , então:

q = A e - ( R / 2 L ) t

Substituindo os valores conhecidos.

q = ( 2,8 × 10 - 4 ) e - 320 2 ( 0,4 ) ( 0,0142 )

⇒ q = 2,8 × 10 - 4 e - 5,68

Assim temos:

q = 9,56 × 10 - 7   C

Questão finalizada com sucesso!

Resposta

( a )

A = 2,8 × 10 - 4   C

ϕ = 0

( b )

t = 0,0142   s

( c )

q = 9,56 × 10 - 7   C

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