Enunciado

70. Depois que a corrente na Figura 30.28 atinge seu valor estacionário final com a chave S 1 fechada e a chave S 2 aberta, a chave S 2 é fechada, colocando o indutor em curto-circuito. (A chave S 1 permanece fechada. Veja o Problema 30.69 para os valores numéricos dos elementos do circuito.) ( a ) Logo depois de a chave S 2 ser fechada, quais são os valores de v a c e v c b e quais são as correntes que passam em R 0 ,   R e S 2 ? ( b ) Depois que a chave S 2 é fechada durante um tempo muito longo, quais são os valores de v a c e v c b e quais são as correntes que passam em R 0 ,   R e S 2 ? ( c ) Determine as expressões para as correntes que passam em R 0 ,   R e S 2 em função do tempo desde o momento em que a chave S 2 é fechada. Seu resultado deve concordar com a resposta do item ( a ) quando t = 0 e com a resposta do item ( b ) quando t → ∞ . Faça um gráfico dessas três correntes em função do tempo.

Passo 1

Bem, a parti do momento em que fechamos a chave S 2 podemos usar a lei de Ohm em R 0 e desconsiderar R e o indutor já que estão em curto, mesmo que ainda haja uma corrente residual nessa parte, assim:

i 0 = ε R 0

A corrente em S 2 ne instante vai ser dada pela diferença de i 0 pela corrente residual que passa por R , já que i 0 é corrente total do circuito, assim:

i S 2 = i 0 - i R

A diferença de potencial em v a c pode ser encontrada através da lei de Ohm também, tendo o valor da corrente i 0 .

A diferença de potencial v c b é zero já que a parti do momento que S 2 foi fechada, a resistência R e o indutor foram excluídos do circuito.

A corrente residual que mencionei acima presente entre R e L é igual 0,18   A como foi visto no exercício 30.69 .

Depois de passado muito tempo da chave S 2 fechada a corrente i 0 continua com o mesmo valor já que não tem por que ela mudar de valor, logo a corrente em S 2 aumenta para o mesmo valor de i 0 e a diferença de potencial v a c também.

A diferença de potencial v c b continua com o mesmo valor de antes que é igual a zero, já que não tem por que ela mudar e a corrente que passa por R agora vale zero já que essa pare pode ser considerada com excluída do circuito devido o fechamento de S 2 .

Passo 2

Primeiro vamos encontrar o que é pedido no item ( a ) .

Vamos então encontrar i 0 , temos:

i 0 = ε R 0

Substituindo os valores que conhecemos temos:

i 0 = 36 50

⇒ i 0 = 0,72   A

Tendo isso a corrente em S 2 é dada por:

i S 2 = i 0 - i R

= 0,72 - 0,18

⇒ i S 2 = 0,54   A

O valor de v a c é dada por:

v a c = i 0 R 0

= 0,72 ( 50 )

⇒ v a c = 36   V

E o valor de v c b como foi dito no passo é zero.

Passo 3

Agora vamos o que é pedido no item ( b ) .

Temos que a corrente i 0 se matem a mesma coisa, a corrente em S 2 sobe para o mesmo valor de i 0 e a corrente em R vai a zero.

A diferença de potencial v a c continua a mesma e a diferença de potencial v c b continua zero.

Passo 4

Agora vamos encontrar funções para i 0 i S 2 e i R .

Primeiro para i 0 temos que ela se manteve constante a todo momento, então ela não depende t .

Para i R vemos que ela é uma corrente em decaimento em uma parte do circuito que podemos considerar um circuito R - L , assim ela apresenta o seguinte comportamento segundo a equação 30.18 .

i R = ε R t o t e - ( R t o t / L ) t

Onde R t o t é a soma das resistências do circuito, assim:

R t o t = 50 + 150 = 200   Ω

E do exercício 30.69 temos que L = 4,0   H , assim nossa equação fica:

i R = 36 200 e - ( 200 / 4 ) t

i R = 0,18 e - 50 t

Agora para achar uma função para i S 2 , vamos usar uma relação que usamos antes, dada por:

i S 2 = i 0 - i R

Substituindo com o que sabemos, temos:

i S 2 = 0,72 - 0,18 e - 50 t

⇒ i S 2 = 0,18 ( 4 - e - 50 t )

Passo 5

Os gráficos das funções de i 0 , v a c e v c b , estão mostrados abaixo.

Para i 0 temos:

Para v a c , temos:

Para v c b , temos:

Resposta

( a )

i 0 = 0,72   A

i S 2 = 0,54   A

i R = 0,18

v a c = 36   V

v c b = 0

( b )

i 0 = 0,72   A

i S 2 = 0 , 72   A

i R = 0

v a c = 36   V

v c b = 0

( c )

i 0 = 0,72

i S 2 = 0,18 ( 4 - e - 50 t )

i R = 0,18 e - 50 t

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