Enunciado

Em um circuito LC oscilante, L = 3,00 m H e C = 2,70 μ .,H. No instante t = 0 , a carga do capacitor é zero e a corrente é 2,00 A . (a) Qual é a carga máxima do capacitor? (b) Em que instante de tempo t > 0 a taxa com a qual a energia é armazenada no capacitor é máxima pela primeira vez? (c) Qual é o valor da taxa?

Passo 1

Aqui temos um circuito LC onde a carga no capacitor é zero, e teremos que calcular a carga máxima do capatitor, em que instante de tempo ele é carregado totalmente pela primeira vez e qual a taxa de carregamento.

Passo 2

(a) A variação da carga com o tempo é dada por q = Q s e n ω t , na qual Q é a carga máxima do capacitor e v é a frequência angular de oscilação. A função seno foi escolhida para que q = 0 no instante t = 0. A variação da corrente com o tempo é dada por

i = d q d t = ω Q c o s ω t ,

no instante t=0 a corrente é i=%omega Q pois cos (0)=1

e como ω = 1 L C

substituindo temos:

Q = i L C

com os valores

i = 2,00 A L = 3,00 × 10 - 3 H

C = 2,70 × 10 - 6 F

Q = 2,00 A × 3,00 × 10 - 3 H × 2,70 × 10 - 6 F = 1,80 × 10 - 4 C = 0,18 m C

Passo 3

(b) A energia armazenada no capacitor é dada por

U E = q 2 2 C = Q s e n ω t 2 2 C

e a taxa de variação é

d U E d t = w Q 2 s e m ω t c o s ω t C = ω Q 2 2 C s e m 2 ω t

A taxa de variação é máxima para s e n 2 ω t = 1 , o que nos dá 2 ω t = π 2 r a d . Assim,

t = π 4 ω = π 4 L C = π 4 3,00 × 10 - 3 H × 2,70 × 10 - 6 F = 7,07 × 10 - 5 s = 70,7 μ s

Passo 4

(c)Fazendo ω = 2 π o v e r T e s e n 2 ω t = 1 na equação d U E d t = ω Q 2 2 C s e n 2 ω t ,obtemos

d U E d t m a x = 2 π Q 2 2 T C = π Q 2 T C

Como T = 2 π L C = 2 π 3,00 × 10 - 3 H × 2,70 × 10 - 6 F = 5,655 × 10 - 4 s , logo:

d U E d t m a x = π 1,8 × 10 - 4 C 2 5,655 × 10 - 4 s × 2,7 × 10 - 6 F = 66,7 W .

Note que a derivada é positiva, o que mostra que a energia armazenada no capacitor está realmente aumentando no instante t = T 8 .

Resposta

(a) Q = 0,18 m C

(b) t = 70,7 μ s

(c) d U E d t m a x = 66,7 W

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