Enunciado

Sejam y 1 x , t = A cos ⁡ k 1 x - ω 1 t   e y 2 x , t = A cos ⁡ k 2 x - ω 2 t duas soluções da equação da onda, equação 15.12, para a mesma velocidade v . Mostre que y x , t = y 1 x , t + y 2 x , t também é uma solução da equação da onda.

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos começar?

Vamos lembrar de um teorema lá do cálculo: a derivada da soma é a soma das derivadas, certo? Então vou aplicar isso nas soluções y 1 e y 2 :

y = y 1 + y 2

∂ y ∂ x = ∂ ( y 1 + y 2 ) ∂ x = ∂ y 1 ∂ x + ∂ y 2 ∂ x

Sendo assim, podemos aplicar novamente o operador derivada:

∂ 2 y ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ y 1 ∂ x + ∂ y 2 ∂ x = ∂ 2 y 1 ∂ x 2 + ∂ 2 y 2 ∂ x 2

Passo 2

E agora vamos fazer o mesmo procedimento para as derivadas temporais:

y = y 1 + y 2

∂ y ∂ t = ∂ ( y 1 + y 2 ) ∂ t = ∂ y 1 ∂ t + ∂ y 2 ∂ t

Sendo assim, podemos aplicar novamente o operador derivada:

∂ 2 y ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ y 1 ∂ t + ∂ y 2 ∂ t = ∂ 2 y 1 ∂ t 2 + ∂ 2 y 2 ∂ t 2

Passo 3

Beleza! Agora vamos pegar a equação da onda:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y ∂ t 2

E substituir as derivadas que encontramos nos passos anteriores. Primeiro do lado esquerdo:

∂ 2 y ∂ x 2 = ∂ 2 y 1 ∂ x 2 + ∂ 2 y 2 ∂ x 2 = ∂ 2 ( y 1 + y 2 ) ∂ x 2

E do lado direito:

1 v 2 ∂ 2 y ∂ t 2 = 1 v 2 ∂ 2 y 1 ∂ t 2 + ∂ 2 y 2 ∂ t 2 = 1 v 2 ∂ 2 ( y 1 + y 2 ) ∂ t 2

E juntando os dois lados temos:

∂ 2 ( y 1 + y 2 ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 ( y 1 + y 2 ) ∂ t 2

O que significa que y 1 + y 2 , sendo cada uma delas individualmente solução da equação, então a soma das soluções também é solução para uma mesma velocidade =)

Resposta

∂ 2 ( y 1 + y 2 ) ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 ( y 1 + y 2 ) ∂ t 2

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