Enunciado

73. Anteriormente, desprezamos a variação do campo magnético ao longo da seção reta de um solenoide toroidal. Vamos agora examinar a ordem de grandeza dessa aproximação. Um dado solenoide toroidal possui uma seção reta retangular (Figura 30.31 ). Ele contém ar em seu núcleo e N espiras uniformemente espaçadas. O campo magnético no interior do toróide foi deduzido no Exemplo 28.11 (Seção 28.7 ). Não suponha que o campo magnético seja uniforme ao longo da seção reta. ( a ) Mostre que o fluxo magnético através da seção reta do toróide é dado por

Φ B = μ 0 N i h 2 π ln ⁡ b a

( b ) mostre a indutância do toróide é dada por

L = μ 0 N 2 h 2 π ln ⁡ b a

( c ) A fração b / a pode ser escrita do seguinte modo:

b a = a + b - a a = 1 + b - a a

Use o desenvolvimento em série de potencias ln ⁡ ( 1 + z ) = z + z 2 / 2 + … , válido para qualquer z < 1 , para mostrar que, quando b - a é muito menor do que a , a indutância pode ser escrita aproximadamente do seguinte modo:

L = μ 0 N 2 h ( b - a ) 2 π a

Compare o resultado anterior ao resultado obtido no Exemplo 30.3 (Seção 30.2).

Passo 1

Esse problema é bem dizer fazer conta e chegar no que o enunciado quer.

Primeiro temos que encontrar o fluxo pedido no enunciado, temos que:

d Φ B = B d A

Onde B é o campo magnético do interior do toróide que é dado por:

B = μ 0 N i 2 π r

E d A é o elemento de área da seção reta do toróide, que é dado por:

d A = h d r

Então para achar o fluxo através da seção reta basta integrar d Φ B de a até b , assim:

Φ B = ∫ a b B h   d r

Tendo encontrado esse fluxo, podemos encontrar a indutância do toróide que pode ser escrita como:

L = N Φ B i

Basta substituir o Φ B que encontrarmos nessa expressão.

Depois só aplicar a série de potencias mostrada no enunciado em

1 - b - a a

E substituir o termo de ordem 1 na fórmula da indutância.

Passo 2

Vamos encontrar o fluxo, temos:

Φ B = ∫ a b B h   d r

Substituindo com que sabemos, temos:

Φ B = ∫ a b μ 0 N i 2 π r h   d r

Colocando tudo que não depende de r para fora, temos:

Φ B = μ 0 N i 2 π h   ∫ a b d r r

Então temos que:

Φ B = μ 0 N i 2 π h ln ⁡ r a b

⇒ Φ B = μ 0 N i h 2 π ln ⁡ b a

Passo 3

Agora vamos substituir essa expressão que temos para o fluxo na fórmula da indutância, temos:

L = N Φ B i

⇒ L = N i μ 0 N i h 2 π ln ⁡ b a

⇒ L = μ 0 N 2 h 2 π ln ⁡ b a

Passo 4

Agora vamos aplicar a seguinte expansão no termo mencionado no passo 1 , temos:

ln ⁡ ( 1 + z ) = z + z 2 / 2 + …

Aplicando em:

1 - b - a a

Temos que:

ln ⁡ 1 - b - a a = b - a a + b - a 2 2 a 2 + …

Desprezando o termo de segunda ordem para cima e substituindo na fórmula da indutância temos que:

L = μ 0 N 2 h 2 π b - a a

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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