Enunciado

74 . Um pequeno objeto com massa m = 0,0900   k g move-se ao longo do eixo + x . A única força sobre o objeto é uma força conservativa que tem a função da energia potencial U x = - α x 2 + β x 3 , onde α = 2,00   J / m 2 e β = 0,300   J / m 3 . O objeto é liberado do repouso a um x pequeno. Quando o objeto está em x = 4,00   m , qual é ( a ) sua velocidade e ( b ) sua aceleração (módulo, direção e sentido)? ( c ) Qual é o valor máximo de x alcançado pelo objeto durante seu movimento?

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Então, para achar a velocidade em x = 4   m podemos usar a conservação de energia, já que temos a expressão para a energia potencial. Assim:

K i + U i = K f + U f

Como o objeto parte do repouso, temos que K i = 0 e como inicialmente o x é muito pequeno, temos que U i = 0 , assim:

K f + U f = 0

A partir disso podemos achar a velocidade.

Para encontrar a aceleração temos que encontrar a força que age no objeto, podemos então usar o seguinte:

F x = - d U d x

Já que o objeto só se move na direção x . E a partir dessa força, basta usarmos a segunda lei de Newton e encontramos a aceleração.

E para achar o valor máximo de x , basta achar o x que faz com que U = 0 que é quando a energia total é zero.

Vamos as contas então!

Passo 2

Começando pelo item ( a ) .

K f + U f = 0

⇒ 1 2 m v 2 - α x 2 + β x 3 = 0

⇒ v = 2 m α x 2 - β x 3

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

v = 2 0,09 ( 2 ) ( 4 ) 2 - ( 0,3 ) ( 4 ) 3

= 22,22 12,8

Assim temos que:

v = 16,9   m / s

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Sabemos que:

F x = - d U d x

⇒ F x = - - 2 α x + 3 β x 2

⇒ F x = 2 α x - 3 β x 2

Agora pela segunda lei de Newton, sabemos que:

F = m a

⇒ a = F m

Então temos que:

a x = 1 m 2 α x - 3 β x 2

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

a x = 1 0,09 2 ( 2 ) ( 4 ) - 3 ( 0,3 ) ( 4 ) 2

= 11,11 ( 1,6 )

Assim temos que:

a x = 17,8   m / s 2

Como só temos a direção x nesse caso, esse acaba sendo o módulo da aceleração, que está na direção x e no sentido positivo.

Passo 4

Agora temos o item ( c ) .

Como vimos no passo 1 temos que achar x para que U = 0 , assim:

- α x 2 + β x 3 = 0

⇒ - α + β x = 0

⇒ x = α β

Substituindo valores, temos:

x = 2 0,3

⇒ x = 6,66   m

Resposta

( a )

v = 16,9   m / s

( b )

a x = 17,8   m / s 2

Direção x e sentido positivo.

( c )

x = 6,66   m

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