Enunciado

78. Duas bobinas possuem enrolamentos semelhantes aos indicados na Figura 30.3 . As correntes circulam com o mesmo sentido através das espiras das duas bobinas. Uma bobina apresenta auto-indutância L 1 e a outra possui auto-indutância L 2 . A indutância mútua das bobinas é igual a M . ( a ) Mostre que, se as duas bobinas são ligadas em série, a indutância equivalente da combinação é dada por L e q = L 1 + L 2 + 2 M . ( b ) Mostre que, se as duas bobinas são ligadas em paralelo, a indutância equivalente da combinação é dada por

L e q = L 1 L 2 - M 2 L 1 + L 2 - 2 M

(Sugestão: veja a dica dada no Problema 30.47 .)

Passo 1

Bem, tanto para o caso em série quando para o caso em paralelo temos que a indutância equivalente pode ser definida como:

ε = L e q d i d t

Mas por que eu falei disso?

Então, é mais fácil ver como ε se comporta no caso em série e no caso paralelo.

No caso em série, temos que:

ε 1 + ε 2 = ε e q

E no caso paralelo temos:

ε 1 = ε 2 = ε e q

Como cada indutor tem uma auto-indutância e uma indutância mútua, então para cada um deles, temos:

ε 1 = L 1 d i 1 d t + M d i 2 d t

ε 2 = L 2 d i 2 d t + M d i 1 d t

Então para o caso em série.

L 1 d i 1 d t + L 2 d i 2 d t + M d i 1 d t + M d i 2 d t = L e q d i e q d t

Para o caso em paralelo.

L 1 d i 1 d t + M d i 2 d t = L 2 d i 2 d t + M d i 1 d t = L e q d i e q d t

Outra coisa falada na sugestão do enunciado, que na verdade é a do Problema 30.47 , foi como a corrente se comporta na ligação paralela, a em série é mais tranquila de saber é a mesma em todos os pontos.

Para ligação em série:

i 1 = i 2 = i e q

⇒ d i 1 d t = d i 2 d t = d i e q d t

Para ligação em paralelo:

i 1 + i 2 = i e q

⇒ d i 1 d t + d i 2 d t = d i e q d t

Passo 2

Vamos então analisar o caso da ligação em série com o que sabemos. Temos duas principais informações que são:

d i 1 d t = d i 2 d t = d i e q d t

L 1 d i 1 d t + L 2 d i 2 d t + M d i 1 d t + M d i 2 d t = L e q d i e q d t

Aplicando a primeira informação na segunda, temos:

L 1 d i e q d t + L 2 d i e q d t + M d i e q d t + M d i e q d t = L e q d i e q d t

⇒ 2 M + L 1 + L 2 d i e q d t = L e q d i e q d t

Dividindo tudo por d i e q d t , temos:

L e q = 2 M + L 1 + L 2

Passo 3

Vamos então analisar o caso da ligação em paralelo com o que sabemos. Temos duas principais informações que são:

d i 1 d t + d i 2 d t = d i e q d t

L 1 d i 1 d t + M d i 2 d t = L 2 d i 2 d t + M d i 1 d t = L e q d i e q d t

Da segunda informação podemos tirar as seguintes igualdades:

L 1 d i 1 d t + M d i 2 d t = L e q d i e q d t

L 2 d i 2 d t + M d i 1 d t = L e q d i e q d t

Agora vamos fazer o seguinte, vamos chamar

d i 1 d t = x

d i 2 d t = y

d i e q d t = z

Com isso ficamos com o seguinte:

L 1 x + M y = L e q z

L 2 y + M x = L e q z

x + y = z

Agora vamos mexer com essas expressões que tem umas notações mais fáceis de manipular do que aqueles d i / d t .

Passo 4

Agora vamos igualar as equações que encontramos no passo anterior, temos:

L 1 x + M y = L 2 y + M x

⇒ L 1 x + M y - L 2 y - M x = 0

⇒ x L 1 - M + y M - L 2 = 0

Agora da seguinte equação

x + y = z

Temos que:

x = z - y

Com isso temos que:

( z - y ) L 1 - M + y M - L 2 = 0

⇒ z L 1 - M - y L 1 - M + y M - L 2 = 0

⇒ z L 1 - M + y 2 M - L 1 - L 2 = 0

Isolando y ficamos:

y = M - L 1 2 M - L 1 - L 2 z

Então como sabemos que:

x = z - y

Logo:

x = z - M - L 1 2 M - L 1 - L 2 z

⇒ x = ( 2 M - L 1 - L 2 - M + L 1 ) 2 M - L 1 - L 2 z

⇒ x = ( M - L 2 ) ( 2 M - L 1 - L 2 ) z

Passo 5

Agora que temos expressões para x e y podemos voltar a uma das seguintes equações:

L 1 x + M y = L e q z

L 2 y + M x = L e q z

Tanto faz qual você escolher o lance é que quando substituirmos x e y os z vão sumir e teremos uma expressão para L e q . Agora vamos substituir na primeira equação, temos:

L 1 x + M y = L e q z

⇒ L 1 ( M - L 2 ) ( 2 M - L 1 - L 2 ) z + M M - L 1 2 M - L 1 - L 2 z = L e q z

⇒ L 1 ( M - L 2 ) ( 2 M - L 1 - L 2 ) + M M - L 1 2 M - L 1 - L 2 = L e q

⇒ L 1 M - L 1 L 2 ( 2 M - L 1 - L 2 ) + M 2 - L 1 M 2 M - L 1 - L 2 = L e q

Então temos que:

L e q = M 2 - L 1 L 2 ( 2 M - L 1 - L 2 )

Mas ainda não tá exatamente iguala o do enunciado, para isso basta multiplicar por - 1 encima e embaixo e com isso encontramos:

L e q = L 1 L 2 - M 2 L 1 + L 2 - 2 M

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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