Enunciado

Um pequeno bloco com massa de 0,0400   k g está se movendo no plano x y . A força resultante sobre o bloco é descrita pela função de energia potencial U x ,   y = ( 5,80   J / m 2 )   x 2 - 3,60   J / m 3 y 3 . Quais são o módulo, a direção e o sentido da aceleração do bloco quando ele está no ponto ( x = 0,300   m , y = 0,600   m ) ?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar são o módulo, a direção e o sentido da aceleração do bloco quando ele está no ponto ( x = 0,300   m , y = 0,600   m ) , sabendo que ele tem massa m = 0,0400   k g e está se movendo no plano com energia potencial descrita por U x ,   y = ( 5,80   J / m 2 )   x 2 - 3,60   J / m 3 y 3 .

Para explorarmos esse problema, podemos usar o fato de que:

F → = - ∇ U

Ou seja, a força aplicada é igual ao negativo da variação da energia potencial.

Com isso a gente consegue encontrar as componentes x e y do vetor F → e podemos usar a segunda lei de Newton ao nosso favor, já que:

F → = m a →

⇒ a → = F → m

Então temos que:

a x = F x m

a y = F y m

Vamos as contas!

Passo 2

Usando a relação entre força e energia potencial, temos:

F → = - ∇ U

F → = - ∂ U ∂ x x ^ - ∂ U ∂ y y ^

Sabemos que:

U x ,   y = ( 5,80   J / m 2 ) x 2 - 3,60   J / m 3 y 3

Então temos que:

∂ U ∂ x = 11,6 x

∂ U ∂ y = - 10,8 y 2

Assim:

F → = - 11,6 x x ^ + 10,8 y 2 y ^

Logo temos que:

F x = - 11,6 x

F y = 10,8 y 2

Passo 3

Usando a relação entre aceleração e força que vimos no passo 1 , temos:

Na direção x :

a x = F x m

a x = - 11,6 x 0,04

⇒ a x = - 290 x

E na direção y :

a y = F y m

a y = 10,8 y 2 0,04

⇒ a y = 270 y 2

Então temos que:

a → x , y = - 290 x x ^ + 270 y 2 y ^ m / s 2

Passo 4

Mas o enunciado quer saber o módulo a direção e o sentido do vetor aceleração no ponto x = 0,3 e y = 0,6 . Temos que o vetor nesse ponto é:

a → ( x = 0,3 , y = 0,6 ) = - 290 ( 0,3 ) x ^ + 270 ( 0,6 ) 2 y ^

⇒ a → = - 87 x ^ + 97,2 y ^

O módulo desse vetor é dado por:

a = - 87 2 + 97,2 2

⇒ a = 130,44   m / s 2

Passo 5

A direção desse vetor pode ser encontrada da seguinte forma:

tg ⁡ θ = a y a x

Onde θ é o ângulo entre o vetor e o eixo x positivo, ele nos fornece a direção do vetor.

Assim temos que:

tg ⁡ θ = - 97,2 87

⇒ θ = 132 °

E esse vetor está no sentido positivo do eixo y e no sentido negativo do eixo x.

Finalizado com sucesso!

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a = 130,44   m / s 2

θ = 132 °

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