Enunciado

79 . Uma única força conservativa F ( x ) atua sobre uma pequena esfera de massa m enquanto ela se move ao longo do eixo x . Você solta a esfera do repouso em x = - 1,50   m . À medida que ela se move, você mede sua velocidade em função da posição. Você usa os dados de velocidade para calcular a energia cinética K ; a Figura P 7.79 mostra seus dados. ( a ) Considere

que U ( x ) seja a função da energia potencial para F ( x ) . U ( x ) é simétrico em relação a x = 0 ? [Se for, então U x = U ( - x ) .] ( b ) Se você definir U = 0 em x = 0 , qual é o valor de U em x = - 1,50   m ? ( c ) Desenhe o gráfico de U ( x ) . ( d ) Em que valores de x (se houver algum) F = 0 ? ( e ) Para que intervalo de valores de x   entre x = - 1,50   m e x = + 1,50   m F é positivo? E negativo? ( f ) Se você soltar a esfera do repouso em x = - 1,30   m , qual é o maior valor de x que ela alcança durante seu movimento? E qual o maior valor de energia cinética que ela tem durante seu movimento?

Passo 1

Vem comigo que a gente se livra dessa questão.

Duas coisas importantes que vamos precisar nessa questão são a conservação de energia mecânica, dada por:

K + U = E T = c o n s t a n t e

E a relação entre energia potencial e uma força conservativa, dada por, na direção x :

F x = - d U x d x

A partir disso e do gráfico fornecido pelo enunciado a gente vai resolver os itens dessa questão. Vamos fazer um de cada vez para não nos embolarmos.

Passo 2

Vamos começar com i tem ( a ) .

Ele quer saber se a função U ( x ) é simétrica em relação a x = 0 . Sabemos que a soma da energia cinética com a energia potencial deve ser constante pela conservação de energia.

Olhando pro gráfico de K vemos que ele é simétrico, e que se dois pontos têm a mesma energia cinética eles vão ter a mesma energia potencial por conta da conservação de energia.

Então se a energia cinética é simétrica, a energia potencial também será simétrica.

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Queremos encontrar o valor de U em x = - 1,5   m levando em conta que em x = 0 temos U = 0 .

A gente tem o valor de U em x = 0 , do gráfico de K , temos que em x = 0 a energia cinética é K = 0,14   J , então pela conservação de energia temos que:

K + U = E T

⇒ 0,14 + 0 = E T

Logo temos que a energia total é E T = 0,14   J .

Agora que conhecemos a energia total do sistema a gente pode usar isso para achar U em x = - 1,5   m , usando também a conservação de energia. Pelo gráfico de K , a gente consegue ver que nesse ponto K = 0 , logo:

U = E T

⇒ U = 0,14   J

Passo 4

Agora vamos para o item ( c ) .

Agora ele quer o gráfico de U ( x ) , para montar esse gráfico basta usarmos a conservação de energia, já sabemos que:

K ( x ) + U ( x ) = 0,14   J

⇒ U x = 0,14   J - K ( x )

A gente conhece os valores de K pelo gráfico do enunciado, então podemos achar os valores de U ( x ) a partir desses caras.

Com isso o gráfico fica da seguinte maneira:

Passo 5

Agora vamos para o item ( d ) .

Ele quer saber os pontos onde temos F x = 0 . No passo 1 já vimos que:

F x = - d U d x

Então para F x ser igual a zero temos que:

d U d x = 0

E para derivada ser zero os pontos x devem ser pontos de máximo ou mínimo, ent]ao olhando o gráfico de U vemos que isso acontece em x = - 1   m , x = 0 e em x = 1   m .

Passo 6

Agora vamos para a letra ( e ) .

Agora temos que achar os intervalos onde temos F positivo e F negativo, já sabemos que:

F x = - d U d x

Então F vai ser positivo para valores negativos de d U / d x . Isso quer dizer que os valores positivos de F vão acontecer nos intervalos onde o gráfico de U é decrescente.

E F vai ser negativo para valores positivos de d U / d x . Isso quer dizer que os valores negativos de F vão acontecer nos intervalos onde o gráfico de U é crescente.

Olhando o gráfico vemos que F é positivo para - 1,5   m < x < - 1   m e para 0 < x < 1   m .

E vai ser negativo para - 1   m < x < 0 e para 1   m < x < 1,5   m .

Passo 7

Agora finalmente o último, letra ( f ) .

Quando soltamos a esfera de x = - 1,3   m ela vai ter uma energia potencial inicial de - 0,12   J que acaba sendo sua energia total, então ele só pode chegar a um ponto onde ele tenha a mesma energia total. Isso acontece em x = - 0,55   m , então esse é o máximo que ela chega.

O maior valor de energia cinética vai ser quando ela tiver o menor valor de energia potencial, o menor valor de energia potencial que ela atinge nesse percurso é de - 0,25   J olhando o gráfico.

Então o maior valor de energia cinética vai ser de 0,13   J , considerando que a energia total é de - 0,12   J .

Com isso finalizamos essa questão com sucesso!

Resposta

( a )

A energia potencial é simétrica

( b )

U = 0,14   J

( c )

( d )

x = - 1   m , x = 0 e em x = 1   m

( e )

Positivo para - 1,5   m < x < - 1   m e para 0 < x < 1   m .

Negativo para - 1   m < x < 0 e para 1   m < x < 1,5   m .

( f )

O maior valor é de x = - 0,55   m .

O maior valor de energia cinética vai ser 0,13   J .

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