Enunciado

Uma partícula com massa m sofre ação de uma força conservativa e se desloca ao longo de uma trajetória dada por x = x 0 cos ⁡ ω 0 t e y = y 0 sin ⁡ ω 0 t , onde x 0 , y 0 e ω 0 são constantes. (a) Ache

os componentes da força que atua sobre a partícula. (b) Ache a energia potencial da partícula em função de x e y. Considere U = 0   quando x = 0 e y = 0 . (c) Ache a energia total da partícula

quando (i) x = x 0 , y = 0 e (ii) x = 0 , y = y 0 .

Passo 1

Conhecemos as coordenadas de uma partícula em um plano e nossa tarefa é encontrar a força atuante na partícula e determinar a energia potencial dessa partícula. A partir das equações do movimento, fica imediatamente claro para nós que a partícula vibra no plano 2D.

Para que possamos encontrar a aceleração, temos que encontrar a derivada segunda da função, ou seja:

a x = d 2 x d t 2

e

a y = d 2 y d t 2

Também, aplicaremos a segunda lei de Newton para os eixos x e y :

∑ F x = m a x

E

∑ F y = m a y

Sabemos que também que a energia potencial é dada por:

U = ∫ F x d x + ∫ F y d y

Passo 2

Assim, derivando a função:

d d t c o s   ω 0 t = - ω 0 sen ⁡ ω 0 t

E

d d t sen ⁡ ω 0 t = ω 0 cos ⁡ ω 0 t

E integrando:

∫ cos ⁡ ω 0 t   d t = 1 ω 0 sen ⁡ ω 0 t

E

∫ sen ⁡ ω 0 t   d t = - 1 ω 0 cos ⁡ ω 0 t

Além do mais, a velocidade é dada por:

v x = d x d t

E

v y = d y d t

E calculamos a energia E por:

E = K + U

Passo 3

  1. Então, no eixo x :
  2. a x = d 2 x d t 2

    = d x 0 cos ⁡ ω 0 t d t

    = - x 0 ω 0 sin ⁡ θ t

    E agora derivando novamente

    = - ω 0 2 cos ⁡ θ t

    E

    F x = m a x = - m ω 0 2 x

    E no eixo y :

    a y = d 2 y d t 2

    = d y 0 sin ⁡ ω 0 t d t

    = y 0 ω 0 sin ⁡ θ t

    Derivando novamente:

    = - y 0 ω 0 2 cos ⁡ θ t

    E

    F y = m a y = - m ω 0 2 y

    Passo 4

  3. Então, para encontrarmos a energia potencial, fazemos:
  4. U = - ∫ F x d x + ∫ F y d y    

    = m ω 0 2   ∫ x d x + ∫ y d y

    = 1 2 m ω 0 2 ( x 2 + y 2 )  

    Passo 5

  5. Encontraremos a energia total da partícula nos casos que nos foi pedido.

Primeiro iremos calcular a velocidade, para que possamos calcular a sua energia cinética:

v x = d x d t = - x 0 ω 0 sen ⁡ ω 0 t

E

v y = d y d t = y 0 ω 0 cos ⁡ ω 0 t

Passo 4

  1. Quando x = x 0 e y = 0 :
  2. v x = 0   e v y = y 0 ω 0

    Então,

    K = 1 2 m v x 2 + v y 2 = 1 2 m y 0 2 ω 0 2

    E

    U = 1 2 ω 0 2 m x 0 2

    Isso implica que:

    E = K + U = 1 2 m ω 0 2 ( x 0 2 + y 0 2 )

    Passo 7

  3. Quando x = 0 e y = y 0 :

v x = - x 0 ω 0

E

v y = 0

Assim,

K = 1 2 ω 0 2 m x 0 2

E

U = 1 2 m ω 0 2 y 0 2

Isso implica que:

E = K + U = 1 2 m ω 0 2 ( x 0 2 + y 0 2 )

A energia total é a mesma nos dois pontos, e a energia total do sistema é constante.

Resposta

  1. F x = - m ω 0 2 x e F y = - m ω 0 2 y
  2. U = 1 2 m ω 0 2 ( x 2 + y 2 )

i )   E = 1 2 m ω 0 2 ( x 0 2 + y 0 2 )

i i )   E = 1 2 m ω 0 2 ( x 0 2 + y 0 2 )

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