Enunciado

A aceleração de uma paraquedista que pula de um avião é dada por a y = g - b v y 2 , onde b é uma constante positiva que depende da área da seção reta da paraquedista e da densidade da atmosfera ao seu redor. A direção + y é vertical para baixo.(a) Se a rapidez inicial dela é zero ao sair do helicótero, mostre que a sua rapidez como função do tempo é dada por v y t = v t tanh ⁡ ( t / T ) , onde v t é a rapidez terminal dada por v t = g / b , e T = v t / g é um parâmetro de escala temporal. (b) Qual fração da rapidez terminal representa a rapidez em t = T ? (c) Use um programa de planilhas para fazer o gráfico de v y ( t ) como uma função do tempo, usando uma rapidez terminal de 56   m / s (use esse valor para calcular b e T ). A curva resultante faz sentido?

Passo 1

(a) Vamos reescrever a função usando a definição da aceleração:

a y = g - b v y 2

d v y d t = g - b v y 2

E podemos resolver essa equação diferencial para encontrar v y :

d v y g - b v y 2 = d t

E substituindo com a informação dada no enunciado:

d v y g - g v t 2 v y 2 = d t

d v y 1 - v y 2 / v t 2 = g   d t

Integrando dos dois lados:

∫ 0 v y d v y 1 - v y 2 / v t 2 = ∫ 0 t g   d t

E consultando essa integral em uma tabela ficamos com:

v t arctanh ⁡ v y v t = g t

E para isolar v t , primeiro precisamos isolar a função trigonométrica:

arctanh ⁡ v y v t = g t v t

Agora aplicando a função tanh ⁡ ( x ) dos dois lados:

v y v t = tanh ⁡ g t v t

v y = v t tanh ⁡ t ( v t / g )

Que é exatamente a função que queríamos demonstrar.

Passo 2

(b) Quando t = T = v t / g , temos o seguinte resultado:

v y = v t tanh ⁡ t T

v y = v t tanh ⁡ 1

v y = 0,7616   v t

Portanto em t = T , a rapidez instantânea é 76,2 % da rapidez terminal.

Passo 3

Agora vamos fazer um gráfico dessa função, usando v t = 56   m / s :

O mesmo gráfico pode ser feito em um programa de planilhas, basta aplicar a função para diversos pontos no intervalo de tempo.

Esse gráfico faz sentido, já que o gráfico se aproxima cada vez mais da rapidez terminal, sem nunca ultrapassá-la.

Resposta

(a) Demonstração.

(b) A rapidez é 76,2 % da rapidez terminal.

(c) Gráfico.

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