Enunciado

Uma corda cujas extremidades são fixas está vibrando no terceiro harmônico. As ondas possuem velocidade igual a 192 m/s e frequência igual a 240 Hz. A amplitude da onda estacionária em um ventre é igual a 0,400 cm. (a) Calcule a amplitude nos pontos da corda cujas distâncias a partir da extremidade esquerda da corda são (i) 40,0 cm, (ii) 20,0 cm e (iii) 10,0 cm. (b) Para cada um dos pontos mencionados no item (a), calcule quanto tempo a corda leva para ir de seu deslocamento máximo para cima até seu deslocamento máximo para baixo. (c) Ache a velocidade transversal máxima e a aceleração transversal máxima em cada um dos pontos mencionados no item (a).

Passo 1

Fala galera, bora lá! Para resolver esse exercício, vamos colocar em prática nosso conhecimento sobre ondas mecânicas. Ao longo de nossa resolução, utilizaremos a equação (15.28) da bibliografia, exposta abaixo:

y x , t = A sin ⁡ k x sin ⁡ w t

Em que y é a função de onda, A a amplitude de onda estacionária, k o número de onda, x   a posição, w a frequência angular e t o tempo.

Além disso, devemos lembrar e observar que sin ⁡ k x = 1 .

v y = w A E S

a y = - w 2 A E S

Onde v y a b s e a y a b s são, respectivamente, a velocidade e a aceleração transversal máxima.

Passo 2

(a) Calcularemos, neste item, a amplitude nos pontos da corda cujas distâncias a partir da extremidade esquerda da corda são 40 , 0   c m , 20,0   c m e 10 , 0   c m .

Lembrando que o comprimento de onda é dado dividindo a velocidade pela frequência, temos:

λ = v f = 192,0 240,0

λ = 0,800   m

E, como a amplitude é a metade do comprimento de onda, temos que

A = 0,400   m

Passo 3

Utilizando a equação abaixo, temos, respectivamente, para os pontos que distanciam da extremidade da corda 40 , 0   c m , 20,0   c m e 10 , 0   c m :

y x , t = A sin ⁡ k x

0,400 sin ⁡ π = 0 0,400 sin ⁡ π 2 = 0,400   c m 0,400 sin ⁡ π 4 = 0,283   c m

Portanto, a amplitude nos pontos da corda cujas distâncias a partir da extremidade esquerda da corda são 40 , 0   c m , 20,0   c m e 10 , 0   c m são, respectivamente, 0 , 0.400   c m e 0,283   c m .

Passo 4

(b) Neste item, para cada um dos pontos do item (a), determinaremos quanto tempo a corda leva para ir de seu deslocamento máximo para cima até seu deslocamento máxima para baixo.

Este tempo equivale a metade do período. Calculando:

T 2 = 1 2 f = 1 2 240   H z

T = 2,06 × 10 - 3   s

Deste modo, o tempo que tempo a corda leva para ir de seu deslocamento máximo para cima até seu deslocamento máxima para baixo é de 2,06 × 10 - 3   s .

Passo 5

(c) Por fim, nesta alternativa, calcularemos a velocidade transversal máxima e a aceleração transversal máxima em cada um dos pontos mencionados no item (a).

Antes de determinar estes parâmetros, precisamos calcular a frequência angular:

w = 2 π f = 1507,92   r a d / s

Utilizando a equações da velocidade transversal máxima calculamos a mesma para os pontos cujas distâncias a partir da extremidade esquerda da corda são 40 , 0   c m , 20,0   c m e 10 , 0   c m , respectivamente. Assim:

Passo 6

Por fim, fazendo uso da equação da aceleração transversal máxima, calculamos a mesma para pontos cujas distâncias a partir da extremidade esquerda da corda são 40 , 0   c m , 20,0   c m e 10 , 0   c m , respectivamente. Temos:

v y 40 c m = w A E S = 1507,92 0 = 0

v y 2 0 c m = w A E S = 1507,92 0,400 = 6,03   m / s

v y 1 0 c m = w A E S = 1507,92 0 , 283 = 4,27   m / s

Resposta

Portanto, a velocidade transversal máxima e a aceleração transversal máxima para os pontos cujas distâncias a partir da extremidade esquerda da corda são 40 , 0   c m , 20,0   c m e 10 , 0   c m são, respectivamente:

v y 40 c m = 0

a y 40 c m = 0

v y 20 c m = 6,03   m / s

a y 20 c m = 9,10 × 10 3   m / s 2

v y 10 c m = 4,27   m / s

a y 10 c m = 6,43 × 10 3   m / s 2

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