Enunciado

Uma amostra de 0,50 mol de um gás monoatômico ideal, a 400 kPa e 300 K, expande-se quase estaticamente até que sua pressão diminua para 160 kPa. Determine a temperatura e o volume finais do gás, o trabalho realizado por ele e o calor que ele absorve, se a expansão é:

  1. Isotérmica;
  2. Adiabática.

Passo 1

Muito bem, nós sabemos que o gás se expande, mas não sabemos nada sobre o volume no qual ele estava inicialmente.

Precisamos acha-lo, certo? Para assim conseguirmos calcular o volume final, que é o que realmente queremos.

Como fazemos isso? Primeiro vamos ver quais são nossas variáveis disponíveis:

n = 0,5   m o l s

P 1 = 400   k P a

T 1 = 300   K

Também sabemos que para gases:

R = 8,314 J m o l . K

Se pensarmos bem, temos tudo o que precisamos para calcular V 1 , basta usarmos a lei dos gases ideais:

P 1 V 1 = n R T 1

Substituímos:

( 400000   P a ) V 1 = 0,5   m o l s 8,314 J m o l . K ( 300   K )

V 1 = 3,118   x   10 - 3 m ³ = 3,118   L

Já sabemos todas as informações que precisamos do estado inicial. Agora vamos começar a resolver a letra a.

Passo 2

Na letra a, vamos analisar essa expansão considerando uma situação isotérmica, ou seja:

T 1 = T 2 = 300   K

Neste caso, n R T será constante tanto para o estado inicial quanto final. Sendo assim:

P 1 V 1 = P 2 V 2

Isolando V 2 :

V 2 = P 1 V 1 P 2

Substituindo:

V 2 = ( 400   k P a ) .   ( 3,118   x   10 - 3 m 3 ) ( 160   k P a ) = 7,795   x   10 - 3 m 3 = 7,795 L

Já achamos duas informações, agora precisamos achar o trabalho realizado por ele e o calor absorvido.

No caso de expansões isotérmicas já temos uma fórmula pronta:

W p e l o   g á s = n R T . ln ⁡ V 2 V 1

Só precisamos substituir:

W p e l o   g á s = 0,5   m o l s 8,314 J m o l . K ( 300   K ) . ln ⁡ 7,795 L 3,118 L

W p e l o   g á s = 1,14   k J

Para acharmos o calor, usamos a primeira Lei da Termodinâmica:

∆ E i n t = Q a b s o r v i d o + W s o b r e   o   g á s

Mas calma, ainda não temos algumas informações. Falta a variação da energia interna. Mas vamos pensar, a temperatura do gás não aumentou, então todo o calor que ele recebeu foi usado para realizar trabalho e não para aumentar sua energia interna. Então:

∆ E i n t = 0

Vamos ter muito cuidado aqui. Trabalho sobre o gás e pelo gás são duas coisas diferentes, mas eles se relacionam. Bora lembrar?

W s o b r e   o   g á s = - W p e l o   g á s = - 1,14   k J

Agora somos capazes de calcular o calor:

0 = Q a b s o r v i d o - 1,14   k J

Q a b s o r v i d o = 1,14   k J

Bora pra letra b!

Passo 3

Na letra b, vamos analisar essa expansão considerando uma situação adiabática, ou seja:

Q a b s o r v i d o = 0

Para achar o volume final neste caso, de processo adiabático quase estático, vamos ter que usar uma relação um pouco diferente da anterior:

P 1 V 1 γ = P 2 V 2 γ

Onde

γ = g + 2 2 . n R g 2 . n R = g + 2 g

Neste caso, g são os graus de liberdade do gás. Para um gás monoatômico, g = 3 :

γ = 5 3

Na relação anterior:

P 1 V 1 5 3 = P 2 V 2 5 3

Removendo o expoente dos volumes:

V 2 = V 1 P 1 P 2 3 5

Substituímos:

V 2 = 3,118   L 400   k P a 160   k P a 3 5 = 5,4   L

Para achar a temperatura final basta usarmos a lei dos gases novamente:

P 2 V 2 = n R T 2

Isolando T:

T 2 = P 2 V 2 n R

Substituímos:

T 2 = ( 160   k P a ) ( 5,4   x 10 - 3 m ³ ) ( 0,5   m o l ) 8,314 J m o l . K = 208   K

Só precisamos agora achar o trabalho. E da mesma forma que fizemos em a podemos fazer aqui:

∆ E i n t = Q a b s o r v i d o + W s o b r e   o   g á s

Já sabemos que Q a b s o r v i d o = 0 :

∆ E i n t = W s o b r e   o   g á s

A variação da energia interna nós não temos, mas podemos usar um fórmula bem pratica para obtê-la:

∆ E i n t = g 2 n R ∆ T

Já sabemos que g = 3 ,   então:

W s o b r e   o   g á s = 3 2 n R ( T 2 - T 1 )

Substituindo os dados:

W s o b r e   o   g á s = 3 2 0,5   m o l 8,314 J m o l . K 208   K - 300 K = - 574   J

É isso mesmo que queremos? Não. Nós queremos o trabalho realizado pelo gás e não sobre ele:

W p e l o   g á s = - W s o b r e   o   g á s = 574   J

E acabamos !

Resposta

  1. T 2 = 300   K     V 2 = 7,795 L   Q a b s o r v i d o = 1,14 k J   | W p e l o   g á s = 1,14   k J ;
  2. T 2 = 208   K   |   V 2 = 5,4   L   |   Q a b s o r v i d o = 0 | W p e l o   g á s = 574   J .
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