Enunciado

103. Determine o período τ para o aro circular uniforme de raio r , enquanto oscila com pequena amplitude em torno da aresta da cunha horizontal.

Passo 1

Bom, primeiro vamos montar o diagrama do aro:

Passo 2

E depois bora calcular o momento de inércia do ponto O , lembrando que a gente vai ter que usar o teorema dos eixos paralelos:

I O = I + m d 2

Como o momento de inércia do aro é m r 2 e a distância d do ponto O até o ponto G é r , temos que:

I O = m r 2 + m r 2 = 2 m r 2

Passo 3

Agora, vamos relacionar as energias:

E T = V + T

Onde V é a energia potencial e T é a energia cinética

Para a energia cinética, temos:

T = 1 2 I O ω 2

Mas como ω = θ ˙

T = 1 2 I O θ ˙ 2

Já para a energia potencial, temos que:

V = m g r ( 1 - c o s ⁡ ( θ )

Agora, é só juntar tudo:

E T = 1 2 I O θ ˙ 2 + m g r ( 1 - c o s ⁡ ( θ )

Passo 4

Já temos a equação de energia do sistema, agora vamos derivá-la em relação ao tempo para encontrar a equação de posição do aro:

d d t E T = 0   ( C o n s t a n t e )

d d t 1 2 I O θ ˙ 2 = I O θ ˙ θ ¨

d d t ( m g r 1 - cos ⁡ θ = m g r s e n ( θ ) θ ˙

Juntando todas as equações:

I O θ ˙ θ ¨ + m g r ⋅ s e n θ θ ˙ = 0

Simplificando a expressão e considerando θ pequeno ( s e n ( θ ) ≅ θ ):

θ ¨ + m g r θ I O = 0

θ ¨ + m g r θ 2 m r 2 = 0

θ ¨ + g 2 r θ = 0

Passo 5

Como sabemos que a fórmula genérica para a equação de um oscilador harmônico é:

θ ¨ + k m θ = 0

Só que do oscilador harmônico podemos tirar a seguinte relação:

k m = g 2 r

E para calcular a frequência de ressonância ω n precisamos da fórmula:

ω n = k m

ω n = g 2 r

Passo 6

Agora, para achar o período τ , vamos usar a fórmula:

τ = 2 π ω n

τ = 2 π g 2 r

τ = 2 π 1 2 r g

Resposta

O período τ para o aro circular uniforme é:

τ = 2 π 2 r g   ( s e g u n d o s )

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