Enunciado

Em um ancoradouro, as marés fazem com que a superfície do oceano suba e desça uma distância d (do nível mais alto ao nível mais baixo) em um movimento harmônico simples com um período de 12,5   h . Quanto tempo é necessário para que a água desça uma distância de 0,250 d a partir do nível mais alto?

Passo 1

Estamos pensando nas marés como se fossem um movimento harmônico simples da superfície do oceano. Vamos ver o que a questão deu de informação.

Se d é a distância do nível mais alto ao nível mais baixo, a gente sabe que ele é o dobro da amplitude. Ou seja:

A = d 2

Se isso te confundir, lembre sempre de um pêndulo:

A amplitude é sempre metade do caminho total percorrido pelo objeto executando o movimento harmônico simples. Beleza? Vamos em frente.

Passo 2

Agora vamos usar o período de 12,5   h pra encontrar a frequência angular, e assim completar a função da posição.

Precisamos passar esse valor pra segundos:

T = ( 12,5 ) ( 60 ) ( 60 ) = 4,5   .   10 4   s

E agora:

ω = 2 π T = 2 π 4,5   .   10 4 = 1,4   .   10 - 4   r a d / s

Passo 3

Continuando a completar a função:

x t = A . cos ⁡ ω t + φ

x t = d 2 . cos ⁡ ( 1,4   .   10 - 4 t + φ )

Como a questão quer a resposta “a partir do ponto mais alto”, a constante de fase é 0 .

Por quê? Se é “a partir do ponto mais alto”, então quando t = 0 , x ( t ) tem que ser o ponto mais alto, ou seja:

x 0 = d 2

E isso só acontece se φ = 0 .

Agora sim chegamos na função completa:

x t = d 2 . cos ⁡ 1,4   .   10 - 4 t

Passo 4

E o problema é só achar t de forma que:

x t = 0,250 d

0,250 d = d 2 . cos ⁡ 1,4   .   10 - 4 t

cos ⁡ 1,4   .   10 - 4 t = 0,500

Qual ângulo tem cosseno igual a 0,5 ? Têm vários, mas o menor é o π / 3 , como queremos o menor tempo necessário, vamos pegar esse ângulo.

1,4   .   10 - 4 t = π / 3

t = 7,50   .   10 3   s ≈ 2,08   h

Resolvido!

Resposta

São necessários aproximadamente 7,50   .   10 3   s .

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