Enunciado

Uma placa de gelo com 5,0   c m de espessura se formou na superfície de uma caixa d’água em um dia frio de inverno (Figura). O ar acima do gelo está a - 10 ° C . Calcule a taxa de formação da placa de gelo em c m / h . Suponha que a condutividade térmica do gelo é 0,0040 c a l s . c m . C ° e que a massa específica é 0,92   g / c m 3 . Suponha também que a transferência de energia através das paredes e do fundo do tanque pode ser desprezada.

Passo 1

Belezera galerinha, a taxa de condução a gente conhece como:

P = k A Δ T L

Com k representando a condutividade térmica, A a área de contato, L a espessura e Δ T a diferença de temperatura entre as extremidades.

O problema é relacionar isso com a taxa de formação do gelo!

Ok, como o gelo se forma nesse caso? Ah, se o ar estiver muito frio, o calor vai fluir daquela água, passando pelo gelo, até se “dissipar no ar”.

E quanto calor precisa passar pra água congelar? Isso a gente também sabe calcular:

Q = L F m

Passo 2

Beleza. E qual a relação entre essas duas fórmulas? A primeira é a taxa com que o calor flui, e a segunda é o próprio calor. Então se derivarmos a segunda em relação ao tempo...

d Q d t = P

d L F m d t = k A Δ T L

L F . d m d t = k A Δ T L

Ótimo, então a taxa com que a massa de gelo formado se forma está aí:

d m d t = k A Δ T ( L ) ( L F )

Passo 3

Agora o problema é o seguinte: como escrever isso em função da altura do gelo?

Bom, a massa se relaciona com o volume dessa forma aqui:

m = ρ V

E o volume é simplesmente área vezes altura, concorda? Então a massa é:

m = ρ ( A h )

Ótimo. Mas como a área da caixa d’água não muda, e nem a densidade do gelo, a derivada disso tudo em relação ao tempo é:

d m d t = ρ A . d h d t  

Opa, chegamos em uma taxa de variação da altura do gelo na caixa d’água!

Passo 4

Agora é só substituir isso naquela fórmula de cima:

d m d t = k A Δ T ( L ) ( L F )

ρ A . d h d t = k A Δ T ( L ) ( L F )

E aí podemos cortar as áreas e substituir os outros valores:

d h d t = k Δ T ρ L L F

d h d t = 0,0040 10 0,92 5,0 80

d h d t = 1,0869 × 10 - 4   cm/s

E agora é só a gente multiplicar por 3600   s/h pra achar a resposta na unidade que o enunciado pediu, ou seja:

d h d t = 1,0869 × 10 - 4   × 3600

d h d t ≅ 0,40   cm/h

Obs.: Para que a água esteja prestes a congelar, sua temperatura tem que ser de 0 ° C , por isso usamos esse valor no cálculo do Δ T ! Além disso L F = 80   cal/g

Prontinho!!

Resposta

A taxa de formação da placa é de 0,40   cm/h .

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