Enunciado

O ângulo de incidência θ a , na Figura 33.59 é escolhido de modo que o raio luminoso passe simetricamente através do prisma, cujo indice de refração é n e o ângulo do vértice é A. a) Mostre que o ângulo do desvio δ (o ângulo entre a direção do raio incidente e a direção do raio emergente) é dado por

sen ⁡ A + δ 2 = n sen ⁡ A 2

(Quando o raio luminoso passa simetricamente, como indicado, o ângulo do desvio é mínino) b) Use o resultado do item (a) para determinar o ângulo do desvio para um raio luminoso que passa simetricamente através de um prisma com três ângulos iguais ( A   =   60 ° ) e indice de refração n = 1.52 . c) Um certo vidro possui indice de refração igual a 1,61 para a luz vermelha ( 700   n m ) e 1,66 para o violeta ( 400   n m ). Sabendo que os raios dessas duas cores passam simetricamente como descrito no item (a) e considerando A   =   60 ° , calcule a diferença entre os dois ângulos dos desvios desses dois raios.

Passo 1

Aplicando a lei de snell na superficie do prisma:

n a sen ⁡ θ a = n sen ⁡ θ b

1 sen ⁡ θ a = n sen ⁡ θ b

Olhando para a figura, temos que o ângulo entre o segmento tracejado (raio emergente) e o raio refratado no prisma vale α =   θ a - θ b .

Olhando para o triângulo retângulo, temos que:

A 2 + 90 + β = 180

Então,

β = 90 - A 2

Agora, olhando para o outro triângulo retângulo, com os ângulo θ b e β , temos

θ b + β + 90 = 180

Substituindo o valor de β

θ b + 90 - A 2 + 90 = 180

θ b = A 2

Então, a lei de snell fica:

1 sen ⁡ θ a = n sen ⁡ θ b

sen ⁡ θ a = n sen ⁡ A 2

Vamos analisar agora o θ a . Vimos que α =   θ a - θ b ,   portanto

α =   θ a - A 2

θ a = α + A 2

θ a = 2 α 2 + A 2

O ângulo α é justamente o ângulo entre o raio incidente e o raio refratado.

Conseguimos ver que:

δ = 2 α

Então:

θ a = δ 2 + A 2

Voltando na lei de snell:

sen ⁡ δ 2 + A 2 = n sen ⁡ A 2

Passo 2

b)

substituindo....

sen ⁡ δ 2 + A 2 = n sen ⁡ A 2

sen ⁡ δ 2 + 60 2 = 1,52 sen ⁡ 60 2

Resolvendo

δ = 38,9 °

Passo 3

c) vamos calcular o desvio de cada cor em relação ao raio incidente, e depois subtraímos um do outro, assim teremos o desvio relativo entre as duas cores.

Para o vermelho:

sen ⁡ δ v e r 2 + 60 2 = 1,61 sen ⁡ 60 2

δ v e r = 47,2 °

Para o violeta:

sen ⁡ δ v i o 2 + 60 2 = 1,6 6 sen ⁡ 60 2

δ v i o = 52 , 2 °

Então o desvio entre os dois é:

52,2 ° - 47,2 ° = 5 °

Resposta

a)

demonstração

b) δ = 38,9 °

c)

5 °

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