Enunciado

Uma armação contendo um prato estica a mola onde ela está suspensa até uma distância de 0,050   m . Um pedaço de massa pegajosa de 0,200   k g é largado do repouso a uma altura de 30,0   c m em relação ao prato ( F i g u r a   8.42 ). Ache a distância máxima que o prato pode se mover para baixo a partir da posição de equilíbrio inicial.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a distância máxima que o prato pode se mover para baixo a partir da posição de equilíbrio inicial.

Para resolver essa questão vamos, primeiramente, encontrar a constante elástica k para a mola a partir das forças quando o prato estiver em repouso. Para esta etapa vamos precisar da massa da armação com o prato. Se você está usando a 12ª edição, ela está cortada, mas na 14ª eles consertaram com a massa que é 0,150   k g , ok?!

Depois usaremos as equações de aceleração constantes para encontrar a velocidade da massa imediatamente antes de atingir o prato. E então aplicar a conservação do momento à colisão entre a massa e a armação.

Por fim, vamos aplicar a conservação de energia ao movimento da armação após a colisão.

Bora lá!

Passo 2

Vamos precisar de um diagrama de corpo livre para a armação quando ela ficar parada no final da mola para encontrar a força k constante da mola. Seja s   a quantidade que a mola é esticada.

Então, temos que:

∑ F y = m a y

- m g + k s = 0

Isso implica que:

k = m g s

k = 0,150 k g ⋅ 9,8 m s 2 0,050 m

k = 29,4 N / m

Considerando que a massa da armação com o bloco é 0,150   k g .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade da massa quando atingir o prato. A massa cai com aceleração a = g , para baixo. Assim, temos os dados do enunciado:

v 0 = 0

y - y 0 = 0,300 m

a = + 9,8 m / s 2

v = ?

Vamos utilizar a equação de Torricelli, uma vez que não precisamos do tempo, t :

v 2 = v 0 2 + 2 a y - y 0

Isso implica que:

v = 2 a y - y 0

v = 2 ⋅ 9,8 m s 2 ⋅ 0,300 m

v = 2,425 m / s

Passo 4

Como P y é conservativo, então:

- m A v A 1 = - m A + m B v 2

Isso implica que:

v 2 = m A m A + m B v A 1

v 2 = 0,200 k g 0,350 k g ⋅ 2,425 m s

v 2 = 1,386 m / s

Passo 5

Vamos aplicar a conservação de energia ao movimento da estrutura no final da primeira, após a colisão.

Tomando o ponto 1 logo após a batida da massa, o ponto 2 é quando o prato tem seu deslocamento máximo para baixo e d é a quantidade que o prato se move para baixo.

Quando o prato está na posição 1 , a mola é esticada a uma distância x 1 = 0,050   m . Quando o quadro está na posição 2 , a a mola é esticada a uma distância x 2 = 0,050   m + d .

Use coordenadas com a direção y para cima e y = 0 na ponto mais baixo atingido pelo prato, de modo que y 1 = d e y 2 = 0 .

O trabalho é feito no prato pela gravidade e pela força de mola, então d é a quantidade que o quadro se move para baixo. Então,

W o u t r a = 0

E

U = U e l + U g r a v

Aplicando o princípio de conservação de energia, temos:

K 1 + U 1 + W o u t r a = K 2 + U 2

Assim,

W o u t r a = 0

A energia cinética será dada por:

K 1 = 1 2 m v 1 2

K 1 = 1 2   0,350 k g ⋅ 1,386 m s 2

K 1 = 0,3362 J

A energia potencial será:

U 1 = U 1 e l + U 1 g r a v

U 1 = 1 2 k x 1 2 + m g y 1

U 1 = 1 2 ⋅ 29,4 N m ⋅ 0,050 m 2 + 0,350 k g ⋅ 9,8 m s 2 ⋅ d

Assim, temos:

U 1 = 0,03675 J + 3,43 N ⋅ d

U 2 = U 2 e l + U 2 g r a v

U 2 = 1 2 k x 2 2 + m g y 2

U 2 = 1 2 ⋅ 29,4 N m ⋅ 0,50 m + d 2

Assim,

U 2 = 0,3362 J + 1,47 N ⋅ d + 14,7 N m ⋅ d 2

Então,

0,3362 J + 0.03675   J + 3,43 N ⋅ d = 0,03675 J + 1,47 ⋅ d + 14,7 N m ⋅ d 2

Isso implica que:

14,7 N m ⋅ d 2 - 1,96 N ⋅ d = 0,3362 J = 0

E, portanto,

d = 1 29,4   1,96 ± 1,96 2 - 4 ⋅ 14,7 ⋅ - 0,3362 ⋅ m

d = 0,0667 m ± 0,1653 m

A solução que queremos é uma distância positiva (para baixo), então:

d = 0,0667 m + 0,1653 m

d = 0,232 m

A colisão é inelástica e a energia mecânica é perdida. Assim, a diminuição do potencial gravitacional não é igual ao aumento da energia potencial armazenada na mola.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d = 0,232 m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um carrinho de estrada de ferro, impulsionado manualmente, move-se ao longo de um trilho horizontal sem atrito e com resistência do ar desprezível. Nos casos a seguir, o carrinho possuimassa total (ca
As esferas A (massa 0,020 kg), B (massa 0,030 kg) e C (massa 0,050 kg) se aproximam da origem deslizando sobre uma mesa de ar sem atrito (Figura 8.41). As velocidades iniciais de A e de B são indicada
Sobre a superfície oleosa sem atrito de balcão de uma lanchonete ,um sanduíche de 0,500 kg se movendo a 3,00 m/a da direita para a esquerda colide com um sanduíche de queijo grelhado de 0,250 kg se mo
Em Dallas, depois de uma tempestade de neve, um automóvel de 1400 kg se deslocando a 35,0 km/h de leste para oeste colide em um cruzamento comum caminhonete de 2800 kg se deslocando a 50,0 km/h de nor
O seu carro esportivo de 1050 kg, estacionado no alto de uma ladeira sem ter sido puxado o freio de mão, rola ladeira abaixo e passa a se deslocar com velocidade de 15,0 m/s de leste para oeste em uma