Uma armação de 0,150 kg , quando suspensa por uma mola, estica essa mola em 0,0400 m . Um pedaço de massa de 0,200 kg parte do repouso sobre a armação de uma altura de 30,0 cm (Figura PS.78). Determine a distância máxima que a armação se move a partir de sua posição de equilíbrio inicial.

Passo 1

E aí, galerinha! Qual a boa?

Uma armação de massa M = 0,150  kg estica uma mola 0,0400  m em repouso. Uma pequena massa m = 0,200  kg parte do repouso a h = 0,30  m acima da armação e cai sobre ela, ficando sobre a armação.

Com isso, temos que determinar até quanto, em metros, a armação se afasta da posição de equilíbrio inicial (distância máxima adicional x ).

Como vamos resolver isso?

Vamos dividir o problema em etapas: primeiro achamos a constante da mola usando o equilíbrio estático; depois calculamos a velocidade da massa antes do impacto;

Em seguida usamos conservação do momento para obter a velocidade do conjunto imediatamente após a colisão inelástica;

Por fim aplicamos conservação de energia

(cinética → energia elástica + variação potencial gravitacional)

Para achar o deslocamento máximo x .

Lembrando que:

  • Equilíbrio estático:
  • k Δ = M g → k = M g Δ

  • Queda livre: velocidade ao atingir a armação
  • v = 2 g h

  • Colisão perfeitamente inelástica (as massas ficam juntas): conservação do momento linear na colisão instantânea (forças externas desprezáveis durante o impacto):
  • ( M + m ) V = m v →   V = m M + m v

  • Energia cinética após a colisão:

K 0 = 1 2 ( M + m ) V 2

Bora lá!

Passo 2

Primeiro, quando a armação de massa M está suspensa em repouso, ela estica a mola uma distância Δ = 0,0400  m . Nesse ponto a força elástica equilibra o peso, então aplicamos k Δ = M g . Substituímos M = 0,150  kg e g = 9,8   m/s 2 para obter

k = M g Δ = 0,150 × 9,8 0,0400 = 1,47 0,0400

k = 36,75  N/m

Esse é o valor da constante elástica da mola que vamos usar adiante.

Agora pensamos na massa m = 0,200  kg que parte do repouso a altura h = 0,30  m acima da armação.

Ao atingir a armação, sua velocidade é obtida pela conservação da energia durante a queda livre:

v = 2 g h = 2 ⋅ 9,8 ⋅ 0,30

v = 5,88 ≈ 2,425  m/s

No impacto a massa m fica sobre a armação M . Assumimos colisão perfeitamente inelástica (elas movem-se juntas imediatamente após o choque). Durante o impacto, a duração é muito curta e, portanto, podemos usar a conservação do momento linear para determinar a velocidade combinada logo após a colisão. Assim,

V = m M + m   v = 0,200 0,150 + 0,200 ⋅ 2,425

V = 0,200 0,350 ⋅ 2,425

V ≈ 1,386  m/s

A energia cinética do conjunto imediatamente após a colisão é

K 0 = 1 2 ( M + m ) V 2

Podemos obter K 0 mais economicamente usando a expressão algébrica que elimina V : com v 2 = 2 g h temos

K 0 = 1 2 M + m V 2 = 1 2 M + m m M + m v 2

K 0 = 1 2 m 2 M + m v 2

K 0 = m 2 M + m   g h

Substituindo M = 0,150   k g , m = 0,200   k g , g = 9,8   m / s 2 e h = 0,3   m :

K 0 = 0,2 2 0,15 + 0,2   9,8 ⋅ 0,3

K 0 = 0,336   J

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora partimos da posição de equilíbrio inicial (aquela com só a armação) imediatamente após a colisão: o conjunto (massa M + m ) possui energia cinética K 0 e a mola tem sua energia correspondente ao estado de equilíbrio, mas como vamos trabalhar com variações a partir da posição de equilíbrio, essas energias iniciais de referência se cancelam.

Quando o conjunto desce uma distância x adicional a partir da posição de equilíbrio, a mola armazena energia adicional Δ U s e a energia gravitacional total diminui por ( M + m ) g x . Fazendo as contas com cuidado (e usando k Δ = M g para simplificar) chegamos à equação de conservação de energia entre o instante logo após a colisão e o instante de máximo deslocamento:

K 0 = m g x - 1 2 k x 2

Reorganizando para obter a forma padrão:

1 2 k x 2 - m g x - K 0 = 0

Essa equação quadrática em x nos dá a distância máxima x (tomamos a raiz positiva física).

Substituímos: 1 2 k = 18,375  N/m , m g = 0,200 × 9,8 = 1,96  N , e K 0 = 0,336  J .

Assim a equação é

18,375   x 2 - 1,96   x - 0,3360 = 0

Resolvendo pela fórmula quadrática, o discriminante é

Δ = ( - 1,96 ) 2 - 4 ⋅ 18,375 ⋅ ( - 0,3360 ) = 3,8416 + 24,696

∆ ≈ 28,5376

Δ ≈ 5,342

A raiz positiva é

x = 1,96 + 5,342 2 ⋅ 18,375 ≈ 7,302 36,75 ≈ 0,1987  m

Arredondando para três algarismos significativos, obtemos

x ≈ 0,199  m    ( ≈  19,9  cm ) .

Portanto, a distância máxima que a armação se move a partir de sua posição de equilíbrio inicial é aproximadamente 0,199  m .

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

x ≈ 0,199  m

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