Enunciado

Uma barra cilíndrica homogênea, com um comprimento inicial de 0,8000 m e um raio de 1000,0 μ m , é fixada em uma extremidade e esticada por uma máquina que puxa a outra extremidade paralelamente à maior dimensão da barra. Supondo que a massa específica (massa por unidade de volume) da barra não varia, determine o módulo da força que a máquina deve aplicar a barra para que o raio da barra diminua para 999,9 mm. (O limite clássico não é ultrapassado.)

Passo 1

Bom, como massa da barra não varia ao ser tracionada e a sua massa específica também não varia, logo, o volume da barra não pode variar. Na prática, isto não acontece. O volume sempre varia um pouco. Porém, neste exercício adota-se a situação de conservação de volume. Logo, se a barra se alonga, então, ela necessariamente deve reduzir de diâmetro. Então, duas equações somente são necessárias pra gente resolver o problema: a equação da deformação linear elástica, e o volume de um cilindro (barra).

Passo 2

Vamos começar então calculando a conservação do volume da barra. Os subíndices 1 e 2 expressam os momentos antes e depois da barra ser tracionada, respectivamente.

π r 1 2 L 1 = π r 1 2 L 2

Com uma manipulação matemática simples, a gente chega em

L 2 - L 1 L 1 = Δ L L 1 = 1000 / 999,9 2 - 1

Agora, basta usar a equação da deformação linear elástica. Vamos utilizar o módulo de elasticidade do alumínio, que varia pouco o seu volume quando submetido a tensão. Fica, então

F = π r 1 2 E Δ L L 1 = 44 N

Resposta

Deve se aplicar uma força trativa de 44 N.

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