Enunciado

Na figura, um tronco homogêneo de 103   k g está pendurado por dois fios de aço, A e B , ambos com 1,20   m m de raio. Inicialmente, o fio A tinha 2,50   m de comprimento e era 2,00   m m   mais curto do que o fio B . O tronco agora está na horizontal. Qual é o módulo da força exercida sobre o tronco (a) pelo fio A e (b) pelo fio B ? (c) Qual é o valor da razão d A / d B ?

Passo 1

Fala galera, bora resolver essa parada?

Precisamos encontrar as reações em cada cabo, pra isso vamo ver o diagrama de corpo livre do tronco.

E se liguem, o tronco precisa estar em equilíbrio. Sendo assim:

∑ F = T a + T b - M g = 0

T a + T b = M g

Passo 2

Vamos considerar agora que inicialmente os fios A e B tinham um tamanho L A e L B e sofreram deslocamentos Δ L A e Δ L B nessa ordem. Sendo l a diferença inicial entre os comprimentos L A e L B (tal que B era 2,00   m m mais longo que A segundo o enunciado) e depois dos deslocamentos A e B adquirem comprimentos iguais, temos:

Δ L A = Δ L B + l

Agora, precisamos lembrar que, da definição de módulo de Young E temos que a variação de comprimento de um corpo que se deforma em regime elástico é dado por:

Δ L = F L A E

Tal que F , L , A e E são a força à qual ele é submetido, seu comprimento, sua área transversal e seu Módulo de Young (note que esse módulo é análogo à constante elástica da Lei de Hooke). Usando essa expressão para Δ L A e Δ L B na última equação do passo 2, temos:

T A L A A E = T B L B A E + l

Passo 3

Vamos organizar a equação encontrada, isso vai ajudar a gente a substituir alguns valores.

T A L A - T B L B = l × A E

Substituindo T B + T A = m g na equação acima, temos:

T A L A + - m g + T A L B = l × A E

T A L A - m g L B + T A L B = l × A E

Colocando T A em evidência:

T A L A + L B = l × A E + m g L b

E enfim:

T A = m g L B + A E l L A + L B

Tal que:

A = π × 1,20 × 10 - 3 m 2 ≅ 4,52 × 10 - 6 m ²

Lembrando que o módulo de elasticidade do aço pode ser considerado:

E = 200 × 10 9 N / m 2

E também que L A media inicialmente 2,50m e o fio B possuía L A +2mm:

T A ≅ 103 × 9,8 × 2,50 + 2 × 10 - 3 + 4,52 × 10 - 6 200 × 10 9 2,0 × 10 - 3 2,50 + ( 2,50 + 2 × 10 - 3 ) ≅ 866 N  

Passo 4

(b)Substituindo T A em T B = m g - T A , vem:

T B = m g - T A = 103 k g 9,8 m s 2 - 866 N = 143 N

Passo 5

(c)Como o torque resultante é nulo devido à condição de equilíbrio do sistema, temos no centro do tronco e considerando o sentido horário positivo:

∑ τ = T A d A - T B d b = 0

T A d A = T B d B

Então:

d A d B = F B F A = 143 N 866 N ≅ 0,165

Resposta

(a) 866 N

(b) 143 N

(c) 0,165

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