Enunciado

Uma barra está inicialmente a uma temperatura uniforme de 0   ° C . Uma de suas extremidade é mantida a 0   ° C e a outra é colocada em contato com vapor d’água a 100   ° C . A superfície da barra é isolada de modo que o calor só possa ser transmitido na direção ao longo do eixo da barra. A área da seção reta da barra é 2,50   c m 2 , seu comprimento é 120   c m , sua condutividade térmica é 380 W m ⋅ K . Sua densidade é 1,0 ⋅ 10 4 k g m 3 e seu calor específico é 520 J k g ⋅ K . Considere um elemento cilíndrico da barra com um comprimento de 1,0   c m .

a) Se o gradiente de temperatura na extremidade fria desse elemento for igual a 140   ° C / m , quantos joules de energia calorífica devem fluir por essa extremidade por segundo?

b) Quando a temperatura média do elemento está aumentando a uma taxa de 0,250   ° C / s , qual é o gradiente de temperatura na outra extremidade do elemento?

Passo 1

a) Para descobiri quantos joules de energia calorifica devem fluir precisamos aplicar a equação da condutividade térmica em cada ponto da barra.

H = d Q d t = K A ∆ T ∆ x

Neste caso não é complicado pois o exercício nos fornece todos os dados que precisamos, então só falta substituilos.

H = 380   W / m K 2,50 ⋅ 10 - 4 m 2 140   ° C / m

H = 13,3   W

Passo 2

b) Vamos denotar as duas extremidades como 1 e 2. Assim temos:

H 2 - H 1 = Q t = m c ∆ T t

Onde ∆ T t = 0,250   ° C / s .

Mas as condutividades térmicas em 1 e 2 podem ser escritas de outa forma.

H 2 - H 1 = K A d T d x 2 - K A d T d x 1 = m c ∆ T t

Podemos agora isolar o termo referente a H 2 e utilizar a massa em termos da densidade:

K A d T d x 2 = K A d T d x 1 + ρ c ∆ x k   ∆ T t

Substituindo os valores:

K A d T d x | 2 = 140 ° C + 1 ⋅ 10 4 k g m 3 520 J k g   K 1 ⋅ 10 - 2   m 0,250   ° C s 380 W m K = 174   ° C / s  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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