Enunciado

Tempo necessário para um lago congelar.

a) Quando a temperatura do ar é 0   ° C , a água da superfície de um lago congela e froma uma camada de gelo. Por que o gelo não se forma no volume total do lago?

b) Mostre que a espessura da camada de gelo da superfície do lago é proporcional a raiz quadrada do tempo, se o calor de fusão da água que se congela abaixo da camada de gelo sofrer condução através dessa camada.

c) Supoha que a superfície exterior da camada de gelo esteja a 0   ° C , calcule o tempo necessário para se formar uma camada de gelo com espessura de 25   c m .

d) Caso o lago na parte (c) tenha uma profundidade de 40   m , quanto tempo seria necessário para que ocorresse o congelamento do volume total do lago? Seria provável que isso ocorresse?

Passo 1

a) Para ocorrer a transição de fase de liquido para solido o calor deve fluir da água para o ar, isso corre com a água que está na parte superior do lago mas conforme essa camada superior começa a congelar ela se torna um isolante térmico não permitindo que todo o lago congele.

Passo 2

b) Vamos considerar uma seção de gelo com área A. No momento t temos que esse gelo terá uma espessura h . Em um dado intervalo de tempo teremos t + ∆ t e a espessura que congela nesse instante é ∆ h . A massa que congela nesse intervalo de tempo é ∆ m = ρ ∆ V = ρ A ∆ h .

O calor que deve fluir da água para o ambiente fazendo com que a água congele é:

d Q = d m L = ρ A L   d h

Sabemos que a condução de calor é dada por:

H = d Q d t = K A ∆ T h

Então todo o calor d Q conduzido no tempo d t por toda a espessura h que já existe é:

d Q = K A T Q - T F h d t

ρ A L   d h = K A T Q - T F h d t

onde T Q é a temperatura quente e T F é a temperatura fria.

Agora podemos integrar ambos os lados.

∫ 0 h h   d h = ∫ 0 t K T Q - T F ρ L d t

Calculando a integral temos:

1 2 h 2 = K T Q - T F ρ L t

Isolando h :

h = 2 K T Q - T F ρ L t

Desta forma temos que a espessura da camada de gelo da superfície do lago é proporcional a raiz quadrada do tempo.

Passo 3

c) Nesta parte precisamos isolar o tempo na equação que encontramos no item (b) e substituir os valores que já possuímos.

t = h 2 ρ L 2 K T Q - T F = 0,25   m 2 920 k g m 3 334 ⋅ 10 3   J / k g   2 1,6 W m K 0   ° C - - 10   ° C = 6 ⋅ 10 5   s

Passo 4

d) Temos que t é proporcional a h 2 logo não precisamos fazer todo o calculo novamente, basta já usarmos o resultado do item (c).

t = 40   m 0,25   m 2 6 ⋅ 10 5   s = 1,5 ⋅ 10 6   s

t = 170   h

Como o clima tem bastante variações para essa quantidade de tempo não seria possível.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dois cilindros maciços, feitos dos materiais A e B, têm o mesmo comprimento; seus diâmetros estão relacionados por d A=2 d B . Quando a mesma diferença de temperatura é mantida entre as extremidades d
Visitando a Finlândia com um colega de faculdade, alguns amigos finlandeses os convidam para participar de um tradicional exercício finlandês, que consiste em sair da sauna, vestindo apenas a roupa de
Estime a condutividade térmica da pele humana.
Dois cilindros maciços, feitos dos materiais A e B, têm o mesmo diâmetro; seus comprimentos estão relacionados por L A=2 L B . Quando a mesma diferença de temperatura é mantida entre as extremidades d
Hélio líquido é armazenado em reservatórios contendo “superisolamento″ de 7,00 cm de espessura, que consiste em várias camadas de lâminas de Mylar aluminizadas muito finas. A taxa de evaporação do hél