Enunciado

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Uma onda senoidal transversal se propaga em corda no sentido positivo de um eixo x com uma velocidade de 80   m / s . No instante t = 0 , uma partícula da corda situada em x = 0 possui um deslocamento transversal de 4,0   c m em relação à posição de equilíbrio e não está se movendo. A velocidade transversal máxima da partícula situada em x = 0 é 16   m / s . (a) Qual é a frequência da onda? (b) Qual é o comprimento de onda? Se a equação de onda é da forma y x , t = y m s e n ( k x ± ω t + φ ) , determine (c) y m , (d) k , (e) ω , (f) φ e (g) o sinal que precede ω .

Passo 1

Essa é uma das questões clássicas da parte de onda: temos basicamente que completar a nossa equação mais importante:

y x , t = y m sen ⁡ ( k x ± ω t + φ )

E vamos ver as informações que nós já temos.

Primeiro, a velocidade de propagação da onda:

v = 80   m/s

Segundo, a questão diz que o ponto x = 0 no instante t = 0 está deslocado em 0,04   m do ponto de equilíbrio, ou seja:

y 0,0 = 0,04   m

Mas ele diz também que esse ponto não está se movendo. Qual é esse ponto, fora do equilíbrio, onde a velocidade é zero? Exatamente, só pode ser o ponto de deslocamento máximo (o pico da onda). Ou seja:

y m = 0,04   m

Terceiro, além disso, o enunciado diz que a velocidade transversal máxima de uma partícula em x = 0 é 16   m/s .

A fórmula da velocidade transversal máxima é:

v m á x = ( y m ω )

16 = y m ω

Beleza, então bora lá ver como fica essa brincadeira.

Passo 2

(a) A primeira tarefa é achar a frequência da onda. Vamos usar essa fórmula aqui:

ω = 2 π f

E usando a fórmula que vimos antes ( v m á x = ( y m ω ) ):

v m á x y m = 2 π f

f = v m á x 2 π y m

Logo:

f = 16 ( 2 π ) ( 0,04 )

f = 63,7   Hz

f = 6 4   Hz

Passo 3

(b) Agora queremos o comprimento da onda λ , vamos usar essa fórmula:

v = λ f

Sendo assim:

80 = λ ( 64 )

Logo:

λ = 80 64

λ = 1,25   m

Passo 4

Iradoso, agora o bizu é que nossa letra (c) já foi respondida, a amplitude da onde senoidal é:

y m = 0,04   m

Passo 5

Já a letra (d) pede o número de onda k , de forma que temos que:

k = 2 π λ

Portanto:

k = 2 π 1,25

k = 5,0   rad/m

Passo 6

Show de bolinhas, agora na letra (e), a frequência angular ω é:

ω = 2 π f

ω = ( 2 π ) ( 64 )

ω = 128 π

Logo:

ω = 4,0 × 10 2   rad/s

Passo 7

E agora temos que na letra (f) queremos encontrar a constante φ .

Bom, pra isso precisamos voltar nas informações que temos pra equação da onda.

O enunciado afirmou que uma partícula no ponto x = 0 no instante t = 0 não tem velocidade, ou seja:

v 0,0 = 0

E pra lembrarmos a função da velocidade, é só derivar parcialmente a função do deslocamento em relação ao tempo.

y x , t = y m sen ⁡ ( k x ± ω t + φ )

v x , t = ∂ y x , t ∂ t = y m ω . cos ⁡ ( k x ± ω t + φ )

E substituindo os valores:

v 0,0 = 0 = y m ω . cos ⁡ ( φ )

Como y m ≠ 0 e ω ≠ 0 , isso quer dizer que:

cos ⁡ φ = 0

φ = π 2

Passo 8

E por último, mas não menos importante, temos que na letra (g), para saber o sinal que precede ω , só precisamos de uma informação que foi dada no enunciado: se propaga em uma corda no sentido positivo de um eixo x .

O jeito mais fácil de decorar isso é lembrar que o sinal é sempre trocado:

Onda se propagando no sentido positivo   →   Sinal negativo no   ω

Onda se propagando no sentido negativo   →   Sinal positivo no   ω

Então, nesse caso, o sinal vai ser negativo, e a função completa fica:

y x , t = ( 0,04 ) sen ⁡ ( 5,0 x - ( 400 ) t + π 2 )

Resolvido.

Resposta

(a) f = 64   H z

(b) λ = 1,3   m

(c) y m = 0,04   m

(d) k = 5,0   r a d / m

(e) ω = 4,0   .   10 2   r a d / s

(f) φ = π 2

(g) Sinal negativo

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