Enunciado

Na figura um cilindro maciço preso a uma mola horizontal ( k = 3,00   N / m ) rola sem deslizar em uma superfície horizontal. Se o sistema é liberado a partir do repouso quando a mola está distendida de 0,250   m , determine (a) a energia cinética de translação e (b) a energia cinética de rotação do cilindro ao passar pela posição de equilíbrio. (c) Mostre que, nessas condições, o centro de massa do cilindro executa um movimento harmônico simples de período

T = 2 π   3 M 2 k

onde M é a massa do cilindro. (Sugestão: calcule a derivada da energia mecânica total em relação ao tempo.)

Passo 1

Falaaa galerinha bonita, tudo beleza?

Saca só, nesse exercício aqui o enunciado nos diz que um cilindro maciço preso a uma mola horizontal de constante elástica k = 3,00   N/m rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal. Sabendo que o sistema é liberado a partir do repouso quando a mola estaá distendida de 0,250   m , o enunciado pede pra gente determinar na letra (a), a energia cinética de translação.

Mas calma lá meu patrão, vamos devagarinho. O problema aqui é que além de ir pra trás e pra frente com a mola, o cilindro vai rolar, ou seja, precisamos considerar a energia cinética associada a essa rotação também.

Nosso primeiro objetivo é achar a energia cinética de translação quando o cilindro passa pelo ponto de equilíbrio. Vamos usar a lei de conservação de energia:

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

A gente sabe que quando o cilindro passa pelo ponto de equilíbrio, teremos que:

U = K

Onde U é a energia potencial da mola, enquanto que K é a energia cinética total dada pela soma da energia cinética de rotação com a energia cinética de translação, sendo assim:

1 2 k x m 2 = 1 2 M v C M 2 ⏝ E. Cinética Translação + 1 2 I C M ω 2 ⏝ E. Cinética  Rotação

Sendo I C M o momento de inércia do cilindro em relação ao centro de massa, v C M a velocidade de translação, ω a frequência angular e x m a amplitude do MHS. Como I C M = 1 2 M R 2 , teremos que:

1 2 k x m 2 = 1 2 M v C M 2 + 1 2 1 2 M R 2 v C M R 2

Logo:

1 2 k x m 2 = 1 2 M v C M 2 + 1 4 M R 2 v C M 2 R 2

1 2 k x m 2 = 1 2 M v C M 2 + 1 4 M v C M 2

1 2 k x m 2 = 3 4 M v C M 2

MAASSSSS, agora que vem a malandragem.

Porque queremos encontrar a energia cinética de rotação K T = 1 2 M v C M 2 , só que temos apenas um termo dado como 3 4 M v C M 2 , então podemos com toda sagacidade do mundo, multiplicar os dois lados da equação por 2 3 , de modo que:

2 3 1 2 k x m 2 = 2 3 3 4 M v C M 2

1 3 k x m 2 = 1 2 M v C M 2

Onde 1 2 M v C M 2 é exatamente nossa energia cinética de rotação K T , tal que:

K T = 1 3 k x m 2

Como o enunciado nos deu que k = 3,00   N/m e x m = 0,250   m , vamos obter que:

K T = 1 2 3,00 0,250 2

K T = 0,0625   J

Passo 2

Na letra (b) queremos saber a energia cinética de rotação, que afinal vimos que equivale a:

K r o t = 1 4 M v C M 2

Que na verdade vale metade da energia cinética de translação, de modo que:

K r o t = 1 2 K t r a n s

K r o t = 1 2 0,0625

K r o t = 0,031 2 5   J

Passo 3

Na letra (c) vamos aceitar a sugestão do enunciado. A equação da energia total do sistema é:

E = 1 2 M V 2 + 1 4 M V 2 + 1 2 k x 2

E = 3 4 M V 2 + 1 2 k x 2

Derivando (usando a regra da cadeia):

d E d t = 3 4 M 2 V a + 1 2 k ( 2 x V )

Como a energia total é constante, a derivada dela é zero:

0 = 3 2 M V a + k x V

Cortando a velocidade V :

3 2 M a + k x = 0

a = - 2 k 3 M x

Beleza. Agora, se você se lembra bem, como a aceleração é a derivada segunda da posição, essa equação que acabamos de achar é uma EDO:

x ' ' t + 2 k 3 M x t = 0

Que é a EDO do oscilador harmônico! E como nós conhecemos bem, essa equação é desse tipo aqui:

x ' ' t + ω 2 x t = 0

Ou seja:

ω = 2 k 3 M

Onde esse ω é a frequência angular! (Não a velocidade)

Passo 4

Agora é só achar o período usando outra fórmula bem conhecida:

ω = 2 π T

T = 2 π 3 M 2 k

Pronto, demonstramos o que a questão pediu!

Resposta

(a) K t r a n s = 0,0625   J

(b) K r o t = 0,031 2 5   J

(c) Demonstração

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