Enunciado

Um bloco de 250   g é deixado cair em uma mola vertical, inicialmente relaxada, cuja constante elástica é k = 2,5   N / c m (Fig. 7-44). O bloco fica acoplado à mola, comprimindo-a em 12   c m até parar momentaneamente. Nessa compressão, que trabalho é realizado sobre o bloco (a) pela força gravitacional e (b) pela força elástica? (c) Qual é a velocidade do bloco imediatamente antes de se chocar com a mola? (d) Se a velocidade no momento do impacto é duplicada, qual é a compressão máxima da mola?

Passo 1

Devemos perceber para iniciar esse exercício que somente duas forças atuam sobre a caixa, uma força constante (força peso) e uma variável (força elástica), porém, ambas são conservativas e, por isso, podemos calcular o trabalho aplicando o seguinte teorema:

W F C = - ∆ U F C

Ou seja, o trabalho realizado por uma força conservativa é igual a menor a variação da energia potencial associada a esta força. Lembrando que:

U g = m g h

U e l = k x 2 2

Devemos perceber também que as unidades dessa questão estão fora do SI, portanto, no decorrer da questão usaremos alguns fatores de conversão para converter tudo para o SI, show?

Passo 2

Calculando o trabalho realizado pelo peso durante a compressão da mola, considerando que nossa cota de altura igual a zero vai ser no ponto de compressão máxima da mola, ou seja, h f = 0 . Assim:

W g = - 0 - 250 × 10 - 3 × 9,8 × 12 × 10 - 2 = 0,294   J

Passo 3

De maneira análoga, vamos aplicar o mesmo teorema para a força elástica, considerando :

W F e l = - 2,5 × 10 2 × 12 × 10 - 2 2 2 - 0 = - 1,8   J

Passo 4

Para determinar a velocidade com que o bloco atinge a mola, vamos aplicar o teorema trabalho-energia cinética durante a compressão. Como na compressão máxima a velocidade é nula, então, K f = 0 , assim:

0 - 250 × 10 - 3 × v 2 2 = W F e l + W g

Como já calculamos os trabalhos realizados pela força elástica e pela força peso, então, substituindo os valores:

- 0,125 v 2 = - 1,8 + 0,294

Isolando v :

v = 1,506 0,125 = 3,47   m / s

Passo 5

Para determinarmos a compressão máxima quando a velocidade é duplicada, faremos o processo que fizemos nos passos anteriores, porém, ao contrário. Assim, escrevendo o teorema trabalho-energia cinética, para uma velocidade duas vezes maior do que a velocidade calculada:

0 - 250 × 10 - 3 × 2 × 3,47 2 2 = W F e l + W g

- 6,02 = W F e l + W g         e q . 1

Passo 6

Escrevendo agora os trabalhos da força peso e da força elástica em função da nova compressão d ' , usando as mesmas considerações anteriores:

W g = - 0 - 250 × 10 - 3 × 9,8 × d ' = 2,45   d '       e q . 2

W F e l = - 2,5 × 10 2 × d ' 2 2 - 0 = - 125   d ' 2       e q . 3

Passo 7

Substituindo a e q . 2 e a e q . 3 na e q . 1 :

- 6,02 = 2,45   d ' - 125   d ' 2

125   d ' 2 - 2,45   d ' - 6,02 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau, encontramos:

d ' = 0,23   o u - 0,21

Porém, nosso deslocamento deve ser positivo devido as considerações feitas, assim:

d ' = 0,23   m

Resposta

  1. W g = 0,294   J ;
  2. W F e l = - 1,8   J ;
  3. v = 3,47   m / s ;
  4. d ' = 0,23   m .
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