Enunciado

A única força que age sobre um corpo de 2,0   k g quando o corpo se desloca ao longo de um eixo x varia da forma indicada na Fig. 7-42. A escala vertical do gráfico é definida por F s = 4,0   N . A velocidade do corpo em x = 0 é 4,0   m / s . (a) Qual é a energia cinética do corpo em x = 3,0   m ? (b) Para que valor de x o corpo possui uma energia cinética de 8,0   J ? (c) Qual é a energia cinética máxima do corpo entre x = 0 e x = 5,0   m ?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão devemos ter em mente o teorema trabalho-energia cinética que diz:

W t o t a l = ∆ K       e q . 1

Entao repara que se achamos o trabalho, nós temos a energia cinética.

Agora vamos olhar para o gráfico! Repara que a área do gráfico de F em função de x é igual ao trabalho ( W ). Portanto, nesta questão, iremos dividir o gráfico em figuras que conhecimentos a fórmula da área para determinar o trabalho.

Passo 2

  1. Para determinar a energia cinética do corpo em x = 3   m , vamos calcular o trabalho de x = 0 até x = 3   m e, por fim, usar o teorema trabalho-energia cinética.
  2. Calculando a área do primeiro triângulo formado de x = 0 até x = 1   m :

    W 0 → 1 = 1 × 4 2 = 2   J

    Para o segundo triângulo formado de x = 1   m até x = 2   m , lembrando que como ele está no semieixo y negativo, então o trabalho será negativo:

    W 1 → 2 = - 2 - 1 × 4 2 = - 2   J

    Para o retângulo formado de x = 2   m até x = 3   m , também negativo:

    W 2 → 3 = - 3 - 2 × 4 = - 4   J

    Então, o trabalho total de x = 0 até x = 3   m é:

    W 0 → 3 = W 0 → 1 + W 1 → 2 + W 2 → 3 = 2 + - 2 + - 4 = - 4   J

    Passo 3

    Com o trabalho calculado de x = 0 até x = 3   m , podemos usar a e q . 1 para determinar a energica cinética em x = 3   m ( K 3 ), tendo em vista que o problema nos deu a velocidade inicial e a massa do corpo. Assim:

    W 0 → 3 = K 3 - K 0

    - 4 = K 3 - 2 × 4 2 2

    Isolando K 3 :

    K 3 = - 4 + 16 = 12   J

    Passo 4

  3. Para determinar o valor de x que o corpo possui uma energia cinética de K = 8   J , faremos o processo contrário ao que foi feito nos passos anteriores. Primeiro determinaremos a variação da energia cinética e, após essa etapa, aplicaremos o teorema trabalho-energia cinética. Considerando de x = 0 até x = x f :
  4. ∆ K = K f - K 0

    ∆ K = 8 - 2 × 4 2 2 = - 8   J

    Aplicando agora o teorema trabalho-energia:

    W 0 → x f = ∆ K = - 8   J

    Aqui, devemos lembrar que já calculamos o trabalho realizado de x = 0 até x = 3   m , portanto, podemos reescrever a expressão acima:

    W 0 → 3 + W 3 → x f = - 8   J

    - 4 + W 3 → x f = - 8

    W 3 → x f = - 4   J

    O pulo do gato agora é perceber que a força que atua nesse corpo de x = 3   m em diante é constante e calculando o trabalho usando a área do gráfico a partir de x = 3   m :

    W 3 → x f = - x f - 3 × 4 = - 4

    Isolando x f :

    x f = 1 + 3 = 4   m

    Passo 5

  5. Para determinar a energia cinética máxima K m á x , devemos lembrar que a energia cinética aumenta quando o trabalho é positivo, como só temos trabalho positivo de x = 0 até x = 1   m , então a energia cinética máxima ocorrerá em x = 1   m . Portanto, aplicando o teorema trabalho-energia cinética entre os pontos citados:

K m á x - K 0 = W 0 → 1

O trabalho W 0 → 1 já foi calculado em passos anteriores, assim como K 0 , então devemos agora substituir os valores:

K m á x = 2 + 16 = 18   J

Resposta

  1. K 3 = 12   J ;
  2. x = 4   m ;
  3. K m á x = 18   J .
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