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Um bloco está apoiado em um êmbolo que se move verticalmente em um movimento harmônico simples. (a) se o MHS tem um período de 1,0   s , para que valor da amplitude do movimento o bloco e o êmbolo se separam? (b) Se o êmbolo se move com uma amplitude de 5,0   c m , qual é a maior frequência para a qual o bloco e o êmbolo permanecem continuamente em contato?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, tudo beleza?

Esse problema aqui é o seguinte: como a questão fixou um período T = 1,0   s , se a gente aumentar demais a amplitude do movimento, o bloco em MHS vai precisar de uma aceleração muito alta pra percorrer ela em um segundo! Olha esse desenho em que o bloco perde contato quando o êmbolo começa a descer:

É como se você estivesse em um elevador subindo muito rápido, e de repente ele muda a direção e começa a descer rápido também: você ia perder o contato com o chão e talvez bater de cabeça no teto!

Agora vamos tentar fazer isso matematicamente. Temos que descobrir qual é a condição que faz o bloco perder contato com o êmbolo.

Passo 2

Como o bloco não está “grudado” no êmbolo, qual pode ser a aceleração máxima do bloco assim que o êmbolo começa a descer?

Exatamente, é a aceleração de queda livre mesmo, ou seja, g . Se o êmbolo frear e descer com uma aceleração maior do que g (puxado por alguma força lá embaixo), ele vai deixar o bloco pra trás.

Ou seja, a condição pra que não haja perda de contato é:

a m á x ≤ g

Onde a m á x é o módulo da aceleração máxima que o êmbolo atinge. Essa é uma fórmula que nós conhecemos:

a m á x = ω 2 A

Em que ω é a frequência angular do oscilador, e A é a amplitude.

Passo 3

(a) Podemos achar a frequência angular através do período:

ω = 2 π T

E substituindo na fórmula:

a m á x = 2 π T 2 A

a m á x ≤ g

2 π T 2 A ≤ g

A ≤ T 2 π 2 g

A ≤ 1,0 9,8 4 π 2 = 0,25   m

E esse é o valor máximo que a amplitude pode ter sem que haja perda de contato.

Passo 4

(b) Agora a única diferença é que ao invés de fixar o período, a questão fixou a frequência. Vamos voltar na mesma fórmula de antes:

a m á x ≤ g

2 π T 2 A ≤ g

Só que agora vamos trocar o período pela frequência usando:

f = 1 T

2 π f 2 A ≤ g

f 2 ≤ g 4 π 2 A = 9,8 4 π 2 0,05

f 2 = 4,96

Como a frequência é um valor positivo:

f ≤ 4,96

f = 2,2   Hz

Prontinho!

Resposta

(a) O bloco e o êmbolo se separam quando A > 0,25   m

(b) f l i m i t e = 2,2   Hz

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