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Enunciado

Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função velocidade v t aparece na figura se a função posição x ( t ) é da forma x = x m c o s ⁡ ( ω t + φ ) ? A escala do eixo vertical é definida por v s = 4,0   c m / s .

Passo 1

Vamos lá, a função posição do oscilador é essa aqui:

x ( t ) = x m c o s ⁡ ( ω t + φ )

Mas a função representada no gráfico é a da velocidade. Podemos achar ela derivando a função posição em relação ao tempo:

x ' t = v t = - ω x m   .   s e n ⁡ ( ω t + φ )

Agora sim, temos a função que descreve a curva no gráfico.

Passo 2

Queremos saber qual é a constante de fase, ou seja, aquele φ que fica dentro da função trigonométrica.

Pra começar, vamos achar o ponto em que o gráfico cruza o eixo y , as coordenadas são:

(   0   ,   4,0   c m / s )

E substituir isso na função da velocidade:

v t = - ω x m   .   s e n ⁡ ( ω t + φ )

v 0 = - ω x m   . sen ⁡ ( φ )

4,0 = - ω x m   . sen ⁡ φ

Ou seja:

sen ⁡ ( φ ) = - 4,0 ω x m

Agora falta achar o valor de ω x m .

Passo 3

Vamos usar outra informação que o gráfico dá. Olhando bem pra função da velocidade:

v t = - ω x m   .   s e n ⁡ ( ω t + φ )

Como a função seno varia entre - 1 e 1 , o valor máximo que essa função assume é:

v m á x = - ω x m

Dá pra ver isso no gráfico? Sim! O valor máximo que a curva atinge é justamente o 5 , 0   c m / s . A gente chega nessa conclusão vendo que cada linha horizontal ali “vale” 1,0   c m / s , e o pico da curva está na quinta linha acima do zero. Então:

5,0   = - ω x m

Agora substituindo isso ali em cima:

sen ⁡ ( φ ) = - 4,0 ω x m

sen ⁡ ( φ ) = - 4,0 - 5,0

sen ⁡ ( φ ) = 4 5

E então:

φ = sin - 1 ⁡ 4 5

Que tem infinitas soluções, mas se nos limitarmos a valores entre 0 e 2 π :

φ = 0,927   r a d

Ou:

φ = 2,21   r a d

Resposta

(a) φ = sin - 1 ⁡ 4 5  

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